魔术师正利用了这一点企图愚弄地毯匠。但如果你仔细画一个大一点的图，你就可以发现，在拼接513长方形中，中间是有空隙的，这个空隙面积恰好等于1平方尺。
现在，大家明白了，这原来是利用斐波拉契数玩的把戏。
那么，如果要问：倘若真按上面的方式，使裁后拼成矩形的面积保持不变，应如何裁呢？拼成矩形长宽又各为多少呢？
设裁成直角边长为x及8的两个直角三角形及上、下底分别为x及8-x的两个梯形，拼成边长为8-x及16－x的矩形。据题意，有（8－x）·（16-x）＝82（取“＋”号时的根＞8，舍去）
个长方形地毯条，再把小长方形按对角线裁开成两个直角三角形，而得到直角梯形。这样才能拼接无误。
如果算出x及8－x的近似值，就可得到答案。
这两个数分别相当地接近3与5。
这个数正是“黄金分割”数。原来，斐波拉契数与黄金分割数有相当密切的关系。
还有一个“火柴游戏”：
有一堆火柴，至少2根，二人轮流从中取，先取的一方可任取，但不允许一次取完。以后取的一方所取火柴数不得超过对方刚才所取火柴的2倍。但每人每次都不能不取。规定取到最后一根者为胜。
如何制胜？有秘诀吗？
如果火柴只有2根，那么，先取者必败。
如果火柴有3根时，先取者败。
如果火柴有4根，先取者可胜。
如果火柴有5根，先取者败。此时先取者第一次取2～4根时，后取者取余下的；先取者取1根时，后取者也只取1根；先取者此时至多取2根，余下的被后取者取完。
如火柴有6根，先取者胜。他只取1根，后取者取1～2根。后取者若取1根时，先取者仍取1根，后取者取1～2根，先取者取余下的，胜。若第二次后取者取2根时，先取者可取余下的，胜。
经过实验，马上知道，若火柴根数是斐波拉契数时，后取者只要掌握窍门必胜；而火柴根数不是斐波拉契数时，先取者只要掌握窍门必胜。
大家可就根数为7、8、9……时设计出取胜的方法验证。这个结论是可以从理论上加以证明的。不过推证起来较为麻烦，这里就从略了。
47.批注之谜
我们知道，x+y=z是一个三元一次不定方程，它的正整数解有无穷多个。x2+y2=z2是一个三元二次不定方程，它的正整数解也有无穷多个。
在初中平面几何中学过勾股定理，根据这个定理，直角三角形三条边的长就满足这个方程。人们必然要问：x3+y3=z3、x4+y4=z4有没有正整数解呢？一般地说来，xn+yn=zn（n是大于2的整数）有没有正整数解呢？最早提出这个问题的是法国数学家费尔马（1601～1665）。
公元1637年，费尔马经过反复研究，提出了如下的结论：对于方程xn+yn=zn，其中n是大于2的整数，不存在正整数解。这个结论被人们称为“费尔马大定理”。之所以称为“定理”，是因为当时费尔马声称，他已能证明这个结论。他在一本书的空白之处以批注的形式写道：“我已经找到了这个令人惊异的证明，但是书页太窄了，无法把它写出来。”可是，人们此后找遍费尔马的着作，并未能找到批注中所讲的“证明”。
为了解开这个批注之谜，数学家和业余数学爱好者纷纷开展了对这一问题的研究。可是，问题研究了一百多年都没有能够解决。公元1850年、1853年，法兰西科学院两度以二千法郎的奖金悬赏征解，但都失望了。1908年，德国哥廷根科学院又以十万马克巨金悬赏，征求费尔马大定理的“谜底”。
科学发现的荣誉，高额的悬赏，引得大批业余数学爱好者对这一问题进行研究，不少人还声称得到了“证明”，但经过权威数学家的“审查”，这些“证明”均一一被否定。哥廷根科学院不堪审稿的烦扰，一方面把奖金降为七万五千马克，另一方面又以仅接受公开发表的文章为由，打发了一大批“证明”者。但这样做的结果又产生了副作用：社会上又出现了成千种公开发行的所谓“费尔马大定理证明”的小册子，以及上万篇同样性质的文章。当然，这只是“费尔马大定理”证明历史长河中的一股支流，应该充分肯定的还是长期来一些优秀数学家所作出的努力和获得的成果：
欧拉（Euler）证明了n=3，4的情况；
1823年，法国数学家勒让得证明了n=5的情形；
1840年，法国数学家拉梅和勒贝格证明了n=7的情形；
1849年，德国数学家库默尔证明了n=3～100（37、59、67除外）的情形，但其中有错误；
1976年，美国数学家证明了2＜n＜1000000的情形。
当然，以上这些数还包括它们的倍数在内。1983年，前联邦德国乌珀塔尔大学29岁的讲师法尔廷斯（Falitings）证明了数学中的“莫德尔猜想”。这个猜想的一个直接推论是，对任何固定的正整数n（n＞3），xn+yn=zn至多只有有限多组互素的正整数解。
接着，希思-布郎又证明了，对“几乎所有”的n，费尔马大定理都是成立的。
1988年3月10日，美国《波士顿环报》报导，日本数学家宫冈在前联邦德国一数学研究所证明了费尔马大定理。可是时隔仅一个月，美国《科学新闻》及其它一些报刊报导，着名数学家们在检验了宫冈的手稿后说，证明在细节上是有问题的。
1993年6月23日，一个令人震惊的消息在全球传开了——350年来悬而未决的费尔马大定理终于被40岁的英国数学家安德鲁·怀尔斯所解决。
怀尔斯现在美国普林斯顿大学工作，他是一位具有世界水平的数论专家。1993年6月21日～23日，他在故乡英国的剑桥大学艾萨克·牛顿数学研究所一连三天以“模形式的椭圆曲线和伽罗瓦表示”为题进行演讲。开始，谁也看不出他有讨论费尔马大定理的意图。最后那天，在演讲的结尾部分，怀尔斯总结说，他证明了由日本学者谷山丰提出的一个猜想。在场的专家们立刻意识到，这意味着：怀尔斯已经证明了费尔马大定理。
人们纷纷举起相机，抢拍下这一历史的镜头。接着是一片经久不息的掌声。成千上万的祝贺电话、邮件象雪片似地飞来，世界各大报纸竞相报导这一消息。
怀尔斯的证明是否正确？这有待数学家们详细的审查。不过，国际数论权威邦别里、里贝特、梅热、阿德勒曼等均对此表示乐观的态度。这是因为怀尔斯研究作风一向严谨细致，而且他的推理是以近30年来诸多数学家的成果为根据，这些根据都是可靠的。
现在看来，费尔马当初的“批注”，如果不是开玩笑的话，那么，他的“证明”一定是有问题的。因为仅用当时数学知识，是根本无法证明这个定理的。不过，开玩笑也好，犯错误也好，费尔马的“批注”毕竟建立了历史的功勋，因为他吹响了攻克费尔马大定理的进军号。
48.飞矢不动
养由基是我国古代最有名的射手。他射箭的技术非常高超，如果任意在一棵杨树上指定一片树叶，养由基站在百步之外，弯弓搭箭，嗖的一声，这片树叶就被他射穿了。这就是“百步穿杨”的功夫。
有一天，养由基正在表演他的“百步穿杨”绝技，有一个叫芝诺的希腊人走了过来，笑嘻嘻地说：“我今天准保能让你的飞矢不动！”
养由基听了大惑不解，说：“我射出的箭谁都阻挡不住，你怎么能让它飞着飞着突然就不动了呢？”
芝诺神秘兮兮地说：“我说你的箭是根本无法射出的。”
养由基更觉奇怪，“我的弓是最好的弓，箭也是最好的箭，我又是天下无双的射手，怎么可能射不出箭呢？”
芝诺说：“那你就听我慢慢说出其中缘故吧。现在假定你张满了弓，搭上了箭，箭头设为点O，你瞄准了百步之外的杨树叶点A。你的箭最后要射中点A，对吗？”
养由基说：“当然万无一失要射中的！”
“好，你听着，你的箭要射中A，必定要先经过线段OA的中点A1，对吗？”
“对！”
“箭要经过A1，又得先经过线段OA1的中点A2，对吗？”
“是呀！”
“要经过A2，又必须先经过线段OA2的中点A3，这也是对的吧？”
“一点也不错。”
“你想想，OA3还有中点A4，那你的箭又要先经过A4啰”，等养由基回答，芝诺又说了：“照此下去，要经过点An，都必须先经过OAn的中点An+1，这自然是千真万确的，于是A1、A2、A3……这些点一个比一个更靠近点O，而每个线段又总是有它的中点，那么，请问，你的箭最先应该经过哪一个点呢？”
养由基这一下抓头了。“是呀，我的箭最先应该经过哪个点呢？这倒真成问题了。我射箭这么多年了，我还真从来没有想过这个问题呢！”
“是呀！”芝诺这一下可神气起来了，“你既然连你的箭首先通过哪个点都找不到，又怎么能让你的箭依次通过后面的那些点呢？”
养由基放下了弓，沉默不语了。
芝诺洋洋得意起来：“现在你该服了吧。所以我说，你的箭是根本射不出去的，这也就是说：‘飞矢不动’了。”
养由基是中国人，芝诺则是希腊有名的诡辩家，他们当然不会有这番对话，但这个故事却是古代希腊的几个有名的悖论之一。
与这个悖论相似，芝诺还设计了另外一些悖论，“阿其里斯追龟”则又是其中的一个：
据说阿其里斯是跑得非常快的一个人，芝诺却说，阿其里斯追不上乌龟。
假定乌龟在阿其里斯前面10米，而阿其里斯的速度是乌龟的10倍，那么，当阿其里斯跑完10米时，乌龟已经前进1米，而当阿其里斯再前进1米时，乌龟又前进了0.1米，仍在阿其里斯前面，阿其里斯再前进0.1米，乌龟又前进了0.01米……如此下去，乌龟永远在阿其里斯前面，所以尽管阿其里斯跑得飞快，也永远追不上乌龟！
这两则悖论都是似是而非的，由于时间与空间都是连续的，但芝诺却故意把它们分割成不连续的一系列点和一段段的时间，这就导致了错误的发生，但在当时，却确实使人难以解释得清。但这些悖论却迫使人们对数学的基础理论进行研究，直到十九世纪，德国数学家康托建立无穷集论后，这些问题才得到了圆满解决。
49.百枚钱币鼓士气
狄青，是北宋仁宗时期有名的大将，开始，他只是防守陕西保安（现志丹县）的一名士兵。当时，西夏多次打败宋军，后来，狄青主动要求担任先锋出战。他披头散发，带上一个狰狞的面具，带头冲入敌阵，把敌人打败。由于狄青屡立战功，被提升为将军。
后来，范仲俺召见了狄青，勉励他认真读书，从此狄青刻苦读书，精研兵法。以后打仗更有勇有谋，终因战功显赫被提升为掌管全国军事的枢密使。
这时，南方少数民族的领袖侬智高自立政权，进攻现广西一带地方，占领了大片土地，打了不少胜仗，北宋朝野震动。宋仁宗派狄青前往征讨，狄青为了克服兵将们畏敌情绪，想出了一个办法。
他立了一个神坛，当着全体将士的面向上苍祷告：“如果这次上天保佑，一定能打胜仗，那么，我把手中的一百枚铜钱扔到坛前地上时，钱面（不铸文字的一面）一定全部朝上。”说完，在众目睽睽之下，他把100枚钱全部扔下，结果这100枚钱竟全部朝上。于是全军欢呼，震天动地。狄青命左右取来100枚大钉把钱全部钉在地上，任士兵观看，并说：“待破敌凯旋，再来感谢神灵。”
将士们都认定肯定有神灵护佑，所以在战斗中以一当百，奋勇无敌，果然连战皆捷，迅速平定了侬智高的叛乱。
为什么兵士们认为100枚钱全部朝上就一定受到神灵护佑呢？
当我们扔下1枚钱时，钱面可能朝上，也可能朝下，有两种不同结果。
全部朝上，这几乎是不可能的事。而这种可能性微乎其微的事竟然发生了，将士们自然认为是有神灵护佑啰。
这种可能性的计算实际上就是被称为“概率”的一门学科。在现代数学中，概率论是非常有用的，这门学科在现代生产、生活及军事等各个领域中都有广泛的应用。
在概率论的发展过程中，有很多知名的数学家都做过掷钱币的实验，他们反复掷一枚钱币，计算正面出现的次数，结果发现，正面出现的可能很有道理，这就是概率论的“等可能事件”这一内容的实验依据。
现在我们再来看一看，狄青带着部队凯旋回来的情况吧。当狄青命令把100枚钉子拔起时，他的僚属们发现，原来，这些钱币都是狄青特制的，两面都只铸了正面！也就是说，一百枚钱全部朝上是个必然事件。狄青只是利用了人们的思维定势，利用了人们敬畏鬼神的迷信心理，机智地采用偷梁换柱的手法，骗过了他的部下，鼓舞了士气，赢得了胜利。
50.勇敢的叛逆者
数学史上，曾经有许多伟大的数学家因为他们的思想还不能被当时的人们理解，从而被人们嘲讽辱骂的。康托就是一例，他因为说“整数与偶数一样多”，而被人骂成是“疯子”，他的老师克朗涅克宣布不承认康托是他的学生。
康托激烈地与辱骂他的人争论，自己的精神也受到巨大的刺激，终于不堪忍受，精神崩溃，病死于萨克逊州的一所精神病医院，但他的理论并没有因歧视和咒骂而消亡。如今，他的理论已成为现代数学的基础。
