经过了约二百年的时间，圆锥曲线的研究取得重大突破的是希腊的两位着名数学家奥波罗尼奥斯（公元前三世纪后半叶）和欧几里得（公元前300－前275）奥波罗尼奥斯在他的着作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义，利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法与构成，而且还对圆锥曲线的性质进行了深入的研究，他发现：（1）椭圆，双曲线任一点M处的切线与、（、为两定点，后人称之为焦点）的夹角相等；（2）对于椭圆，（为常数，且大于）。（3）对于双曲线，（为常数，且小于）。但是，阿波罗尼奥斯对抛物线没有发现这类性质。欧几里得在他的巨着《几何原本》里描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，即：平面内一点F和一定直线AB，从平面内的动点M向AB引垂线，垂足为C，若|MF|：|MC|的值一定，则动点M的轨迹为圆锥曲线。只可惜对这一定理欧几里得没有给出证明。
又经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的着作《汇篇》中，才完善了欧几里得的关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定理进行了证明。他指出，平面内一定点F和一定直线AB，从平面内的动点M向AB引垂线，垂足为C，若|MF|：|MC|的值一定，则当|MF|：|MC|的比值小于1时，动点M的轨迹是椭圆，等于1时是抛物线，大于1时是双曲线。至此，圆锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了。
140.斐波那契数列
斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。
（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。
（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。
斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：
3……百合和蝴蝶花
5……蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
8……翠雀花
13……金盏草
21……紫宛
34，55，84……雏菊
（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
（4）斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中。这种情况在向日葵的种子盘中也会看到。此外，你能发现一些连续的鲁卡斯数吗？
（5）菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。对于菠萝，我们可以去数一下它表面上六角形鳞片所形成的螺旋线数。
斐波那契数列与黄金比值，相继的斐波那契数的比的数列：它们交错地或大于或小于黄金比的值。该数列的极限为。这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。
141.弧形滑梯与最速降线
现在，如果有两条滑梯摆在你面前，一条是斜线，另一条是弧线。并且高度都是相同的。让你从中选择一条，使你从这条滑梯滑到地面时间比从另一条滑梯滑到地面的时间要短一些，你会选择哪一条呢？
也许你会选择那条斜线，认为那条斜线段的路程会短一些。但是，事实告诉我们，这样的分析是错误的。因为所花的时间，不但与路程的长短有关，而且还与滑行速度有关。沿着斜线下滑，固然路程会短一些，然而，运动速度是从０开始，缓慢而均匀地增大。沿弧线下滑开始滑行的是一段陡坡，速度迅速增大，使其滑行速度比前者快，即使路程更长一些，哪一条所花时间更短一些却很难判断了。如果弧线滑梯所花时间更短，那么改变弧形形状，是否还有更省时间的呢？哪一种弧线滑梯又是最省时间的呢？这个问题就是数学中的最速降线问题。
最速降线问题用科学语表述就是：确定在重力场中两个定点间运动的动点最快下降的曲线，这条曲线原来是一条适当的摆线的一段弧！
寻找“最速降线”的问题，最初是由瑞士数学家约翰·贝努利提出。当时欧洲数学界正盛行一种挑战的风气，约翰·贝努利就以此问题向全欧洲数学家挑战。这个问题经过约翰·贝努利、牛顿、莱布尼兹、雅各·贝努力等人的努力，得到了解决。发现：沿着适当的倒放摆线弧下滑，比任何曲线都快。这一问题的解决，为一门数学新分支――变分法的诞生奠定了基础。
142.“摸球游戏”与概率论
这个游戏的规则很简单：他先摆出了12个台球一般大小的小球，其中有6个红色球和6个白色球。当着观众的面，他把所有12个色球装进一个普通的布袋中，然后怂恿大家来摸。怎么个摸法呢？就是从这个装有12个球的布袋中，随便摸出6个球来，看看其中有几个是红球，有几个是白球。当然，摸球者只能把手伸进袋口中把球一个一个地“掏出来”，而不能打开袋口看着摸。
这位摆摊的人，还设立了各种情况下的奖励方案，大致是这样的：如果谁有幸摸出了“6个红球”或者“6个白球”，那么摸者可以得到3元钱的奖励；如果摸出的是“5红1白”或者“5白1红”，那么摸者可以得到2元钱的奖励；如果摸出的是“4红2白”或者“4白2红”，那么摸者可以得到1元钱的奖励；但如果摸出的是“3红3白”，对不起，摸球者必须付给摆摊者3元。
当时的围观者甚众。乍一看来，在可能出现的所有7种情况中，竟然有6种可以得到奖励，只有唯一1种情况要“挨罚”，很多人便欣然参与。奇怪的是，“3红3白”的情况特别的多，也许摸个一、两次，能撞个大运，摸个“4红2白”或者“4白2红”，赢下寥寥几元钱，但如果连摸五次以上，几乎是必“赔”的。一天下来，最为得意的当然是那个摆摊者。
有些赔钱的人肯定会有这种疑问：“为什么摸出来的6个球，总是3红3白呢？是不是这个摆摊的人有点特异功能，施了魔法呢？”
当然不是。这是数学中的“概率”所左右的结果。
大家都知道，根据排列组合的知识，从12个球中摸出6个球，总的方法数为：
其中“6红”或者“6白”的情况，都仅有唯一的1种，按照概率论计算，就是1/924的出现概率，真是太低了，在概率论中可以算作“实际上不可能发生”的小概率事件。
容易计算出“5红1白”或者“5白1红”的情况各是：
两种情况加起来就是72种，也就是出现总概率为72/924＝6/77，还不到1/11，也够低的。所以这两种情况也难得出现。
出现“4红2白”或者“4白2红”的情况各是：
两种情况加起来就是450种，也就是出现总概率为450/924＝75/154，将近1/2，也就是有一半的可能性。不过这两种情况每次都只能赢回1元钱。
最后我们来看看“3红3白”的情况：
所以，摸到“3红3白”的概率，就是400/924＝100/231，虽然比上面那两种情况的可能性稍低，但也是将近一半的可能性。尤其一旦摸到“3红3白”，一次就会损失掉3元钱。
根据上面的分析，我们可以得到如下结论：最有可能出现的三种情况是“3红3白”、“4红2白”和“4白2红”，而且出现“3红3白”的概率接近1/2，出现“4红2白”和“4白2红”的概率都接近1/4。也就是说，一般来讲，如果志愿者摸了四回，往往其中的两回都是“3红3白”（共赔6元），另外各有一次是“4红2白”和“4白2红”（共赚2元）。算下总帐，4次摸球的结果，一般要赔进4元钱。看来，参与摸球的人多半是会赔本的，而且摸的次数越多，赔出的钱也就越多。
143.导航的双曲线
在茫茫的大海上，惊涛骇浪，你能顺利地指挥着船队驶向前方吗？好，让我们的双曲线来帮助你吧。它是大海的导航员，先来看一看原理：假如你站在广场上，广场的东西两侧各装有一只喇叭，并且放着欢快的音乐：北京的京山上光芒照四方，毛主席就是那金色的太阳，多么温暖……
站在广场上，听见第一只喇叭把“金色的太阳”传到耳朵后的半秒钟，又听到了第二声“金色的太阳”。由于两个喇叭离耳朵的远近不同，所以产生了听觉上的时间差。再换一个地方，是否还有这样歌声相差半秒的情形呢？实际上，只要人站的位置与两只喇叭的距离差与第一次一样就可以了。因此可以找到很多这样的点，这些点就构成了双曲线的一支。
轮船航行在海上时，它就处于人的位置，岸上有两个无线电发射台，用电波代替了喇叭里传出的音乐。轮船行驶在某一位置时，就可以从接收的电波的相位差，测出轮船与电台的距离差，由此确定了一条以两个电台为焦点的双曲线。若再和另一对电台联系，可以确定出另一条双曲线，两条双曲线有一个交点，船就处于这一点上。这一切都是在一瞬间完成的，因为有很多现代化的工具来帮助我们，你明白了吗？船长们就是这样来导航的。
