正如巴贝奇所预见的那样，由于提高计算速度的需要，计算机迅速地发展了起来。１９４０年，在ＩＢＭ赞助下，哈佛大学研制成功了第一台自动计算器。第一台电子可编程的计算机“巨人”
（Ｃｏｌｏｓｓｕｓ）于１９４３年研制成功。它是图灵和冯·诺依曼在英国外交部做密码破译工作时合作的结晶。然而，对未来的计算机体系结构产生影响的是同一时期在宾州大学研制的ＥＮＩＡＣ（ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＮｕｍｅｒａｔｏｒＩｎｔｅｇｒａｔｏｒＡｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒ）。冯·诺依曼希望ＥＮＩＡＣ（最初是设计成用来计算弹道学的表格的机器）能够实现曼哈顿计划所要求的某些计算。但结果他却发现他自己是在设计一种新型计算机。这种新型存储程序计算机叫做ＥＤＶＡＣ（ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＤｉｓｃｒｅｔｅＶａｒｉａｂｌｅＡｕｔｏｍａｔｉｃＣｏｍｐｕｔｅｒ）。这一新型计算机有５个主要的组成部分：输入、输出、控制单元、存储单元和运算单元。这种计算机之所以叫“存储程序计算机”，是因为程序同数据一起存储在机器中的，同时，控制单元执行指令序列。这一类型的计算机始建于１９４９年的英国，叫做ＥＤＳＡＣ（ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＤｅｌａｙＳｔｏｒｅＡｕｔｏｍａｔｉｃＣａｌｃｕｌａｔｏｒ）。后来，美国和英国都生产了这样的计算机。到了２０世纪６０年代，存储程序计算机开始普及。半导体元件的发明取代了阴极射线管，使得计算机的速度和可靠性得到了提高。尽管这些设计与巴贝奇的设计相似，但是这些计算机的研究是在完全忽视了巴贝奇的早期工作的情况下完成的。
正如我们所了解的那样，计算机的发明是在实际需要的背景下产生的，无论是在商业、行政部门、密码学还是在数学物理中的方程求解中都存在着这样的需求。存储程序计算机已将硬件和软件分开。为了执行适当的计算而做的编程和算法研究不是出于实际需要，而是出于逻辑学家们对形式体系的探索。
普通算术就是形式体系的一个常见例子。它有一个明确的符号集合和为了对问题求解操作这些符号的过程。除了参照形式体系的法则外，这些符号本身没有意义。例如，如果要验证算式ＡＢｍＢＡｅＢＥＢ是可满足的，可以使用各种方法求得Ａ，Ｂ，Ｅ，ｍ和ｅ的具体实例。也许把ＡＢｍＢＡｅＢＥＢ看成乘法等式１２×２１＝２５２更简单明了（Ａ←１，Ｂ←２，ｍ←×，ｅ←＝，Ｅ←５），但是，ＡＢｍＢＡｅＢＥＢ表明具体符号并不重要，重要的是在给定公理体系下能够证明命题为真，在此例中就存在这样一个具体的算式。实际上，我们不仅可以用字母表示函数，甚至可以用数字来代表算子而不是表示具体的量。这是特定用途计算机到通用计算机的转换中的一个至关重要的因素。在现代计算机中，任何一个指令，例如在显示器上特定位置显示一个红点的命令，实质上就是一串数字。事实上，一个完整程序一旦被编码成二进制，那么本质上它就是一个（非常大的）数。由于计算机在速度和功能方面突飞猛进的发展，计算机这一单纯的编码方式往往被忽视。
哥德尔（ＫｕｒｔＧｏｄｅｌ，１９０６—１９７８）于１９３１年发表的《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》中给出了为形式系统中的每个可表达的命题赋予一个唯一的数的方法。这样，每个命题真值得证明都可以表达为唯一的一串自然数。并扩展到已知一串这样的符号，就有可能决定它是否有意义。在这篇论文中，有两个经典结论。其中第一个是不完全性定理，即像整数算术一样的基本公理系统均含有在该系统下不可判定的命题。这与语言学中的两难问题“这个句子是错误的”有点类似。不可判定命题的存在，证明了按照罗素和怀特海的设想寻求数学公理化的想法是行不通的。同时，哥德尔也粉碎了希尔伯特的梦想：希尔伯特试图建立一个完备且自相容的算术系统，即一个不存在内部矛盾的算术系统。哥德尔的第二个结论是：如果一个系统是相容的，则在该系统的范畴内不能证明此系统的相容性。简而言之，算术是不完全的。这样的打击足以使数学家们放弃寻求一个普遍的数学，而致力于从不同公理形式如何产生不同系统的研究。寻求数学语言的目的是使我们能够回答疑问，因此在此之前，讨论着重于判断数学命题真伪的过程上。现在，数学家们更加关心的是可计算性而不是可判定性。数学家们从可判定性的研究步入了可计算性的研究领域。
在把目光集中于算法的同时，函数概念的推广也受到关注。在最一般的意义下，函数ｆ是数学对象间的任意关联。一个函数可计算是指，存在一个对于ｆ定义域中的每个ｘ都能求出ｆ（ｘ）的算法。只有在１９世纪末，人们构造出病态函数时，才发现可能存在不可计算的函数。因此，研究转向了计算算法。判定一个给定算法是否是计算所需函数的算法相对来说比较容易的。但是，对于一个函数，当我们要证明不存在计算它的算法时，则需要精确定义什么是算法。在定义什么是算法时，哥德尔所给出的递归函数概念，起到了非常重要的作用。所谓递归函数，是指从若干个基本函数出发，按给定规则通过有限步操作而得到的函数。可判定性与此相似：对于命题ｙ＝ｆ（ｘ），当在一个形式体系下，存在这一命题真伪的证明时，它在这一形式体系下是可判定的。希尔伯特的第１０问题是关于丢番图方程求解算法的问题。正是受这一问题启发，人们开始了可计算性的研究。１９３６年，普林斯顿大学的丘奇和剑桥大学的图灵各自独立地发表了可计算性的概念，而图灵进一步指出两个概念本质上是等价的。图灵的算法定义基于计算的机器模型，丘奇立即把该模型命名为图灵机。他们的研究否定了万能算法的存在，即不存在判定所有命题真伪的算法。这些结果以及哥德尔的结果成功地粉碎了计算机有朝一日能够判定出所有数学命题真伪的梦想。然而对算法的关注引发了软件革命，这一革命宣告了计算数学这一新领域的诞生。计算数学不断地向老问题挑战，例如太阳系的稳定性等问题，同时人们把注意力转移到生物系统和生命自身的复杂动力系统。
战争博弈论
人们总是喜欢玩博弈，无论老幼都为之疯狂。大部分博弈既需要技巧又需要运气。经历了命运变迁之后，一个真正的博弈玩家能够在多项连续的博弈中保持冷静、思虑周全。然而，有一些博弈却不能仅凭运气来玩，在这里，既没有骰子可掷，又没有平局的幸运，这些博弈完全要依赖于策略才能取胜。关于这样博弈的研究，就是对策论的研究课题。还有一些博弈简直就是生与死的较量。在模拟战争中，由于战术失误的代价较低，因此，军事战略家们总是利用军事策略博弈来改进他们的战术设计技术。把国际象棋和围棋看成是理想的战争博弈，也许并非偶然。把博弈理论首次实际运用于分析一种新型战争———未来有可能爆发的最后一次大战也并不奇怪。
在１９世纪普鲁士人发明了一种叫做“兵棋”（Ｋｒｉｅｇｓｐｉｅｌ）的战争博弈。这是一种纯战术棋类博弈，而且该博弈变得越来越真实。在博弈中，裁判员根据实际战争中所获得数据进行胜负的裁决。普鲁士军队在军事上的成功，很大程度上依赖于从这一博弈中获得的战术素养。远到美国和日本，许多国家都开始研究战争博弈。在第一次世界大战中，德国的失败打破了博弈的神话。新武器及运输系统的高速发展意味着需要修改军事策略的整个基础。因此，一方面军事需要数学家和科学家来发展军事装备，另一方面也需要他们给以策略上的指导。至今为止，在军事历史上，这些策略是将军们的工作。第二次世界大战后，两个拥有破坏性武器的超级大国的存在，从根本上改变了战争规则。
但人们坚持用数学方法来分析策略博弈，以得到有实用价值的理论。波莱尔是法国数学家和２０世纪２０年代的法国海军部长。他在《对策论》一书中分析了纸牌游戏中的斗智问题，并分析了对策论在经济和政治中的应用。在普林斯顿大学的匈牙利数学家冯·诺依曼以及同校的奥地利经济学家摩根斯顿合写的经典著作《对策论与经济行为》中，我们可以看到波莱尔的影响。他们把对策论作为经济交互作用的可能模型，虽然这一新理论在早期与军事的关系更大，但是经济学家们还是逐渐接受了它。
冯·诺依曼出生于匈牙利的布达佩斯，自小就显示出计算的才能。１９２１年，他进入了布达佩斯大学，尽管他一次课也没有上过，但仍于１９２６年以对策论的论文而获得博士学位。在柏林和苏黎世期间，他没有按照他父亲为他选定的科目学习化学，而是继续向外尔、波依亚等数学家学习数学，后来在哥廷根又向希尔伯特学习数学。１９３０年，他来到普林斯顿，１９３３年成为新建立的普林斯顿高等研究院首批的５位终身教授之一，从此就一直在那里工作。纳粹当权时，他辞去了在德国的职位，并决定移居美国。他并不是作为难民逃亡美国的，而是他认为那里有更多的机会。１９４０年起，他担任了军事事务中各个领域的顾问。在洛斯阿拉莫斯，为制造原子弹，他研究了量子力学。１９５５年，他担任了美国原子能委员会委员。在谈到苏黎世时期的冯·诺依曼时，波伊亚说：“他是我唯一畏惧的学生。当我在课上讲一个未解决的问题时，他经常是在下课后就在一张纸片上用潦草的字给出完整的解答。”１９５７年，冯·诺依曼死于癌症，据他的朋友们告知，他为自己不能继续进行研究工作而感到绝望。他最著名的工作是关于对策论、量子力学及计算机理论的研究。
最单纯的博弈是两人双策略零和博弈。在此博弈中，两个非常理智的玩家都企图战胜对方，在博弈中总分是零，一个人赢的分数就是对方失去的分数。一个最有趣的例子是分蛋糕的游戏，这是两个孩子分蛋糕时经常出现的场面。怎样分才能使得孩子们不感觉到对方的蛋糕比自己的大呢？这一游戏的解分为两个步骤：一个孩子先把蛋糕切成两半，然后由另一个孩子挑选蛋糕。每个孩子都喜欢要大的那块。在每一个孩子都认为对方是贪婪的这一合理假设下，存在最优解。第一个孩子必须用最公正的方法切蛋糕，否则如果其中有一块大得很多，那么毫无疑问第二个孩子一定会选择大的那一块。这被冯·诺依曼对称为极小极大理论进行了阐述，在上述两个玩家参与的情况下，存在“鞍点”或最优解。极小极大理论被推广到有更多玩家的情况，随着玩家人数的增加，求最优解的过程越来越复杂。多数讨论博弈的书中都给每位玩家准备一张表；随着玩家的增多这些表变得越来越大，需要很大的矩阵来进行计算。
２０世纪４０年代，纳什把冯·诺依曼的理论推广到了非零和博弈中。这一博弈的一个例子就是股票市场。炒股的人中有赢的，也有输的。但是钱的总数是随着股票市场资本的增加而变化。纳什发现非零和博弈也有一个“均衡”的解。纳什于１９２８年出生于弗吉尼亚，毕业于卡耐基技术学院，并于１９５０年以论文《关于非零和博弈》获得博士学位。他在读博士期间写的一篇论文使他在很久以后的１９９４年获得了诺贝尔经济学奖。从１９５１年起，他执教于麻省理工学院，也就是在这里，他在黎曼流动几何学和欧氏空间领域做出了突破性的工作。１９５９年，这位最有希望的年轻科学家得了精神分裂症。１９９６年在世界精神病学会上，他讲述了７０年代他的经历和康复过程。他继续做了许多出色的工作，甚至他在住院期间也没有停止对几何学、拓扑学和微分方程以及几何空间等领域的研究。
纳什的研究表明，在许多情况下，最优解并不是产生于那些显而易见的行为过程中。所谓的“囚犯的难题”这一著名例子就说明了这一点。这个例子是由德累瑟设计而塔柯在给精神科学生讲课时解释的。经过复述，它已经有些变动，但是塔柯所解释的原型是：有两个犯人被拘留，并且分别关押在不同的房间；如果其中的一个人坦白了，则他将受到奖赏而另一个人则要受到惩罚；如果两个人都坦白了，则他们两个人都要被惩罚；如果他们都不坦白，则他们将被释放。如此进退两难的选择的最佳选择是：这两个人都保持沉默，从而两个人都将被释放。但两人都有这样的担心：如果另一个人坦白了的话，自己将会被惩罚。这一担心可能导致两个人都坦白，结果使这两个人都受到惩罚。这一策略博弈和设想被用于军事、商业和个人之间的谈判领域。实践发现，人们对最优解具有敏锐的意识，而一个偶然的失误将导致对方的反击，这就是被称为以牙还牙（ｔｉｔ－ｆｏｒ－ｔａｔ）的战术。
在一些博弈当中存在着最优对策，一旦这一最优对策被发现，则这一博弈也随即变得毫无价值。例如○×游戏，就是一个在孩子们中流行的游戏，但是这一游戏的要点一旦被孩子们掌握，每个玩者都变得聪明起来，因此每一局都会打成平手，这样孩子们对游戏的兴趣就会减退。纳什证明了，即使是国际象棋也有一个最优策略。但由于国际象棋太复杂，致使这一最佳策略仍没有被发现，甚至对最优策略将是平局还是白方胜也不清楚。如果一个最优策略被发现，那么国际象棋就会像○×游戏一样变得毫无价值。对付核战争是否有最优策略呢？在短暂的若干年里，美国是唯一拥有核武器的国家。由于害怕前苏联也将建立核武器装备，一些发明家，如冯·诺依曼，甚至是罗素也倡导立即对前苏联进行首次核攻击，并为加强全球和平建立一个世界协商机构。然而这一提议未能实施，而政策不久就倾向于遏止并建立ＭＡＤ，这些策略大多来自秘密智囊团ＲＡＮＤ。
利用第一次世界大战后剩余的防卫资金，智囊团ＲＡＮＤ于１９４５年成立。开始时，它是道格拉斯飞行航空计划的一部分，于１９４８年正式成为从军队和商业部门筹集资金的非营利组织机构，这就是智囊团的原型。它的智囊致力于“想不能想的问题”，ＲＡＮＤ意为“研究与发展”（ｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ），它的主要研究就是在核世界中制定国家的策略。我们提到的２０世纪４０年代到５０年代的所有美国数学家当年都曾经在ＲＡＮＤ工作过。纳什向他们介绍了许多游戏，包括兵棋。战争的后勤学仔细地研究了军事行动的决策，并且安装了自动防范系统以防意外的袭击。由于担心对立双方武器贮存的增加，所以以牙还牙的策略似乎是不可取的：核博弈是一种只能玩一次的博弈。对于两代人实施霸权政治的滥用给世界的公众与他们的领袖带来影响。认为不能想象的事，双方都不会去做。
ＲＡＮＤ的运作更像是一所大学而不像是个军事机构，它给智囊团成员保持自己生活习惯的自由。办公室２４小时开放。ＲＡＮＤ出版了许多著作。其中有１９５４年威廉姆斯出版的名著《资深策略家》，他把对策论运用于非军事领域，其中也插入了一些黑色幽默。由于ＲＡＮＤ的成功，引发了大量智囊团的成立，但是没有一个智囊团拥有如此激情的数学家这一专注于抽象思维的永久团队。
