数学之所以一度被尊奉为人类科学的典范，主要不在于它的精密性，而在于它的确定性——上帝就是按照数学来设计宇宙的。但随着数学自身的发展，不是一种而是多种数学出现了，数学的确定性被打破，数学自身矛盾百出，数学的终极基础和终极意义也不知藏身何处了，数学也就从上帝的侍女堕落为人间的婢女。同数学无与伦比的辉煌成就相比，数学的堕落和危机成为人类有史以来最为深刻的智力悲剧，被数学家们视为人类理性最大的不幸事件，其灾难性的后果比哲学的堕落——从探寻宇宙本质到只关注语言分析——还要严重。
概要、肤浅地回顾数学堕落的过程，构成了本章第一节的内容。重建数学的宇宙学基础，是本章第二节要达成的主要企图。在此基础之上对数学的一些未解之谜进行猜想，也就成为第三节的话题。
第一节 数学危机
数学危机大致上可划分为两类或者说有两大主要来源：无理数、超越数（或超限数）、超实数、微积分、无穷集合、非欧几何等为一类，它们与数学上的“无穷量”有关。负数、虚数、复数、四元数等为另一类，它们与虚数有关。而多元高次方程根等则既有“无穷量”问题，也有虚数问题（这样的说法一定会招来职业数学家们的嘲讽，只是我们暂时不用理会他们的感受——特此说明）。前者被认为引发了数学思想中最为深刻的矛盾——离散与连续的矛盾，后者被认为破坏了数学的客观实在性——虚数乃至负数有它们的物理学基础吗？上帝要虚数干什么？两者还共同指向一个更为深刻的问题——什么是数学？数学的本质是什么？数学的终极基础和终极意义又是什么？
无理数（如√2）是被毕达哥拉斯派发现但很快就被他们“扔掉”的数，因为它破坏了数的和谐甚至是宇宙的和谐——上帝也无法将这样的数值完整地写出来。在毕达哥拉斯时代的数学家乃至部分哲学家的眼里，上帝创造了正整数、正有限小数和正分数（它们统称为正有理数），并用这些数创造了整个宇宙。假如用一条线段（或直线）来表示宇宙间的全部正数的话，凡是正的有理数都可以与该线段（或直线）上的点建立一一对应关系，但无理数却无法在线段上找到和自己对应的点（你只能假想着它在某处）。数本来是万物的尺度，而一个在线段上没有精确对应点的数在这个尺度上吗？
几千年来我们一直在使用无理数，也一直认为它“没道理”——上帝绝对不会使用他自己也写不完整的数去创造宇宙和宇宙中的万物。数学家们只好出面为自己发现的无理数打圆场了，他们说：无理数只是几何问题——就像希腊人在丈量田地的欧氏几何中发现“√2”一样。瞧，另外一个常用的无理数“π”（圆周率）不也是几何问题嘛？他们干脆用几何方法来解X2-2=0这样的方程，边长为1的正方形的对角线也就成了方程X2-2=0的有效解（即“√2”），无理数的问题也就避开了（至于该方程的另一个解“—√2”被认为是无效的游戏而已）。无理数后来被天才或魔鬼数学家康托尔归入一个新的数——“超限数”，超限数就是无法完整写出数值的数，它包括：无理数（即无限不循环小数）、无穷大的数——无限不循环小数里的小数点被拿掉后就成了无穷大的数。但数学家们拒绝将无限循环小数（如1/3）归入超限数，尽管也没有人能完整地写出它们的小数值来。
超越数和超限数一样也无法完整写出它的数值来，但其特征却更加的不可思议。数学家将能满足实数代数方程的数（如“√2”就是方程X2－2=0的根）统称为代数数，而无法满足实数代数方程的数统称为超越数。用有理数加上一个超越数，就得到了一个超实数。超实数所面临的问题，也同样是超越数所面临的问题——由超越数“传染”过来的问题。
对于普通人的理解力来说，超限数就已经是一个十足的魔鬼了，但它还有一个更厉害的魔鬼伙伴——无穷集合。数学家将无穷分为潜无穷和实无穷。比如正整数，如果随便给你一个数N，你总可以找到比它大的数N 1，且这一过程是无限的，这就是潜无穷；但你要是将正整数作为一个整体来看，全体正整数的集合就是实无穷。康托尔说，每一个正整数都有一个偶数（即该正整数的两倍数）和该正整数一一对应，也就是说正整数作为集合与它的子集（即偶数集）是一一对应的。这样的集合就是无穷集。康托尔还进一步证明，对于任一给定的集合，总存在一个比它更大的集合——因为由一给定集合所有的子集组成的集合就大于原集合。按照常理，所有集合组成的集合应该是最大的数了，但就因为全体子集的集合大于原集合，它就不是最大的数了——其全体子集的集合就比它大。比如一个由4个元素组成的原集合，其子集有：含有1个元素的集合4个，含有2个元素的集合6个，含有3个元素的集合4个。如果再加上1个空集和原集合自己，数量正好是2的4次方。
微积分是分析数学的基础，但它自己的基础概念却是一片混乱。微积分的创始人牛顿说，要理解微分中的导数最方便的做法就是将导数看成是一个瞬时速度，所谓“瞬时”就是时间小到不可再分割的那一刻，导数就相当于此刻时的速度。因而导数也就是“不可分量”时的一个量，也叫“无穷小量”和“逐渐消失的量”。但数学家们在处理导数时却显得极为反常，也极其随便——既可以把它当成一个有数值的数，也可以把它当成“0”忽略掉，甚至被有的数学家直接说成是“0”。尽管后来数学家们将导数改记为“极限”，但“无穷小量”概念的混乱情形依旧。
欧氏几何的困惑也和“无穷量”有关。点、线、面的基本定义就牵涉到“无穷”的概念——任意长度的线段今天被描述成点的无穷集合，而任意大小的面积也被描述成线段的无穷集合。这里的“无穷”概念同样是含混不清的，希腊人肯定也意识到了这一点，所以在他们的著作中尽可能回避了“无穷”概念的哲学基础问题。另外我们还心知肚明：点、线、面根本就不是物理实在，物理世界中也根本不可能有点、线、面这样的存在。非欧几何不仅继承了点、线、面这样的虚构概念，还领着它们与我们的往常经验越走越远。可无限延长的直线被黎曼几何中的无界却有限的大圆所取代，所有的两条直线（即大圆）都会相交。原本两点间的距离直线为最短，现在却成了两点间的距离以大圆上的测地线为最短。三角形内角和也不一定就是180度，内角和大于、等于或小于180度的三角形也都是真实的。空间甚至也不再是平滑的，而代之以有无数小丘、波动着的“流形”空间。数学家乃至物理学家相信，非欧几何也可以是描述物理空间的几何——爱因斯坦就是这么做的而且取得了巨大成功。问题是：在这些彼此有差别的几何体系中，大自然更喜欢哪种几何？更糟糕的问题是：其中有没有大自然喜欢的几何？
由印度人发明的负数据说是为了记账（准确的说是记下欠账）用的，你欠别人2元钱可以记为“-2元”，这是可以理解的。但问题是：上帝要这样的负数比如说“-2”干什么？负数根本就不可能有几何意义，并且它的运算法则和正数相比起来也有着明显的不同。比如两个负数乘除的法则“负负得正”又意味着什么？会有现实的物理学意义吗？更为糟糕的是，数学家们在解二次方程时，有的方程根竟然“变”成了负数的平方根。令毕达哥拉斯头疼的方程X2－2=0，现在变成了在实数里不可能成立的方程X2 2=0.要想该方程成立，就得使X=√-2.而“√-2”对现实宇宙来说意味着什么？笛卡儿将这样的数命名为“虚数”意即虚幻的数。一个实数加上一个虚数，就得到了一个复数a bi（i=√-1），数学家们还建立了一个以a为横轴以b为纵轴的复数平面，复数a bi被描述为复平面上的一个点(a、b)。复数的加法也就成为复平面上的向量加法——两复数的和表示着一个向量。复数也因此被称为二维数（实数当然还是数轴上的一维数）。似乎是为了要说服数学家们接受自己，复数及其复变函数在描述流体力学、天体运动乃至数学证明中竟然成就不凡。数学家们心安理得地使用起复数，而对它的逻辑基础问题也就视而不见了。
接下来的问题是：有没有三维数？它在哪里？1843年，哈密尔顿发明了四元数a bi cj dk，其中，12=j2=k2=一1，a、b、c、d则是四元数的四个系数。两个四元数相等，则它们的四个系数都分别对应相等。两个四元数相加，就是将它们对应的四个系数相加，结果得到一个新的四元数。为保证四元数的乘积仍是四元数，哈密尔顿做了些特别约定，结果导致四元数牺牲了乘法交换律(ab=ba)。结论就是：针对不同的数，你要给它制定不同的运算法则！随后，数学家们又发明了许许多多奇怪的代数，它们被统称为超复数。这些新代数的出现，致使人们对代数和算术的真理性提出了质疑。因为只有经验能告诉我们什么样的算术和代数能适合什么样的物理事实，它还应该遵循什么样的运算法则，因而算术和代数也就不再是具有普适意义的真理，甚至整个数学也就不再是一个真理体系！爱因斯坦对数学和物理世界之间的矛盾做了一个意味深长的概括：“只要数学的命题涉及实在的，它们就是不可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在”。如果数学在描述自然的话，它就不是真理；如果数学是真理的话，它就不会涉及到自然。更进一步的结论是，数学不再是上帝制定的法则，而直接就是人制定的法则；数学法则也不一定就适合宇宙，它仅仅适合数学自己——如果数学正巧适合宇宙的话，那它就一定不是法则，它只能是不可靠的经验而已！
多元高次方程根中不仅有大量的虚数、复数，还有大量的无理数，可以看成是“无穷量”问题和“虚数”问题的集成者。类似的情况还大量出现在较为复杂一点的函数中——只要该函数中内含有一个高次方的变量即可。讨论这些问题远不是本书的能力所在，对于我们来说，只要记住有这么一种情况——复合了“无穷量”问题和“虚数”问题的集成者——就足够了。
数学给那些纯数学家们创造了一个（甚至是无数个）无穷自由的天地，在那里，新的数学分支像那些贪婪的细菌一样通过分解、组合、杂交、聚合等花样翻新的技巧迅速繁殖着——纯数学自己就能为这些细菌提供营养。数学也因此成为越来越高度专业化的技巧，也越来越呈现出一种孤独的气质。越来越美丽、精巧和孤独的数学，就像是远方的海市蜃楼：楼越来越高，人也越来越多，场面更是越发的宏伟和精致。但这一宏大的场景只是建立在一根稻草之上的，这根稻草的名字叫“数”。更糟糕的是，稻草本身也没有扎根在坚实的土地上，而是向着更远的天空随风飘去。
但数学家们还告诉我们说，所有的数学危机都只有一个起源——整数的终极基础问题。也就是说，只要你解决了整数在物理世界中的含义，剩下的问题都是数学家们的事情了——对他们来说剩下的都只是细节问题，尽管解决起来会非常非常专业。如此一来，也就给我们这些数学门外汉提供了一线希望：看看我们能否为整数的宇宙学基础问题做点什么。因为在本书看来，为整数寻找宇宙学基础已不再是单纯的数学问题了，而是一个实实在在的哲学问题；也不仅是数学家们的责任，而成为每一个生活这宇宙中的人们都应该担当的共同责任。
第二节 数的概念
假如哪一天没有了数字和数学，我们的世界将会怎样？答案只能是：一片混乱。这隐隐约约地是在暗示我们：数字可能与某种秩序有关。
类似的提问可能还会给我们带来更多的暗示。这样的暗示有助于我们对数的特性和功能的思考，但并不能帮助我们解答数的本质问题。为什么会有数？数的终极意义又是什么？面对这样的问题，我们的理解力是没有办法直接给出答案的。我们可以换个方式提问：如果赋予“数”一个终极意义上的哲学概念，这样的概念应该去哪里寻找？数的概念最有可能藏在什么地方？
结论仅仅是：我们只能从宇宙关系中寻找出关于“数”的定义——全部存在都在宇宙关系之中，数当然也不例外。接下来的问题自然也就转换为：宇宙关系中为什么会给正整数留有位置？是宇宙关系中的哪些特性“定义”了正整数？也正是顺着这样的思考路线，我们最终发现了数的本质。
数——从终极的意义上说——乃是宇宙关系统一公理和宇宙关系同构定理两者之关系的计数形式。
可进一步表述为一下三层含义：
数——作为关系——是字宙统一公理和同构定理之间的关系；
数——作为存在——乃是字宙统一公理和同构定理之关系的层次规定，该层次规定的具体形式就是“数”或“量”：
数——作为个在——乃是数与数之间的关系，“数与数之间的关系”乃是对“宇宙统一公理和同构定理之关系”的“映射”。两者（“数与数之间的关系”和“宇宙统一公理和同构定理之关系”）共同反映了数的本质。
以上就是我们关于数的本质的最终定义，如果将范围限定在我们这个宇宙中的话，那上面所说的“数”仅仅是指“正数”。接下来要对上述定义的由来进行证明上的还原，并进一步予以疏理和说明。
公理2.1：宇宙统一公理。可具体表述为：宇宙——作为存在——统一于质能时空统一、无数正反物质宇宙相连的宇宙链中；宇宙——作为关系——统一于呈连续性、无限性、层次性、方向性且具有自组织特性的宇宙关系中。
宇宙统一的思想是不证自明的，所以我们将它列为本书唯一的一个公理。至于其“具体表述”的内容，属于宇宙统一公理的展开形式。尽管它看上去是我们在对宇宙本质的哲学追问中逐渐展开的，但其展开的过程是我们发现它的过程而不是我们证明它的过程。它就被宇宙统一公理包含在那儿，打开宇宙统一公理的包裹，我们就能看见它——也无论我们以什么样的方式看见它，都不能对它有丝毫的增减。
定理2.1：宇宙同构定理。可具体表述为：宇宙同构——作为关系——是宇宙关系中的全部层次之间的关系，是宇宙关系中的全部其它层次同宇宙关系自身层次之间的同构关系，“同构”的含义是指：宇宙关系中的全部其它层次都在复制着也同构着宇宙关系自身的连续性、无限性、层次性、方向性和自组织特性的统一，复制着也同构着宇宙关系自身的质能时空统一关系。宇宙同构——作为存在——只能存在于宇宙关系的全部层次之间，即它只能以关系的形式存在于宇宙关系的全部层次上，而绝不能以个在的形式存在于某个具体的层次上。
宇宙同构定理是需要证明的。我们在第一章中对该定理的发现过程（如原子结构同星体之间的同构、两个貌似相邻的宇宙片断之间的无限性同构等）如果拿来作为证明的话，只能算是不完全归纳法，是不能最终算数的。但我们认为，该定理完全可以从宇宙统一公理中推导出来。推导举例一：将宇宙关系中的“连续性”在宇宙关系的不同层次上映射。结果是在宇宙关系的不同层次上，你都能得到宇宙关系的连续性，即宇宙关系在不同层次上都重复着它的连续性。而宇宙关系的连续性中即包含有宇宙关系的结构（和无限性），最终证明宇宙关系的全部不同层次都在复制着即同构着宇宙关系的结构（和无限性）——即宇宙同构。推导举例二：将上述推导过程极端化，设想将宇宙关系中不同层次上的存在逐一从宇宙中拿走，被拿走的部分在宇宙外的另一个地方会怎样？结论是它们会形成新的宇宙——即它们都具有原来宇宙的结构。最终也证明了宇宙同构思想。最后，宇宙同构的思想还可以通过人类的直觉被发现（这里就不能用“证明”一词了），直觉主义者会告诉你，他可以从连续、无限、有层次、有方向且具有质能时空统一和自组织特性的宇宙关系中“直觉”出宇宙同构的思想来。以上三点，可共同说明宇宙同构定理成立。
推论2.1：数字“1”就是宇宙同构关系的哲学个在形式。
从定理2.1中得知，宇宙同构定理的具体含义是指：宇宙关系全部层次之间具有同构关系。从哲学上看，该定理可表述为“个在即关系”——宇宙的本质在个在之中，宇宙关系中的任何层次上的存在都在复制着宇宙关系的结构。因而，宇宙同构思想只能是一种关系而不可能是个在，宇宙同构也就不可能以个在的形式存在着，在物理世界中也找不到这样的个在。但现在的问题是，如果在哲学宇宙（即人类符号体系）中让宇宙同构的思想获得一个哲学个在（即概念）形式，该哲学个在可能是谁？你肯定会说：用中文写的名词“宇宙同构”应该算是一个。只是我们还不满足于这样的回答，而是继续提问：如果用一个最简单的符号来表示宇宙同构的思想，它应该是什么样的符号？答案就只能是数字“1”。也无论你将数字“1”写成什么其它形状的符号，它所能指称的也只会是数“1”的思想，因为数“1”的思想就是“宇宙同构”的思想，数字“1”也就成为宇宙同构思想最为简洁的符号！
可作以下设问：在宇宙关系背景下，数“1”的精确含义是什么？当我们在任意使用数字“1”时又用它指代着什么？得到的答案是：数字“1”可能是宇宙关系中任一个层次上的存在者自己，但又绝不可能是某一个具体层次上的存在者自己。我们在物理学中可以用数字“1”指代宇宙关系中的任何一个层次上的物理存在，既可以用它来表示一个基本粒子，也可以表示一个宇宙，甚至还可以表示一个完整的宇宙链。但我们同时也清楚，数“1”本身并不就是一个宇宙或一个基本粒子。无论是一个基本粒子也好，还是一个物质宇宙也好，它们都是物理学的话题。而当我们用数字“1”指代某单个存在者而不用理会该存在者的层次时，实际上是仅仅指代该存在者自己而并不包括别的存在者。当然数“1”也可以将“自己 别的存在者”视为新的自己，此时的数“1”即指代这个新的存在者，但还是不包括相对于这个新的存在者之外的别的存在者。也正因为如此，数“1”可以出现在宇宙关系中的任何层次上。但无论它出现哪个层次上，它所能指代的就只是该层次上的存在者自己。
宇宙关系中的所有存在层次都是同构的，都可以用一个符号来表示，这个符号可你以写成数字“1”，也可以写成其它的形状，但所有可能的符号最终都会指向同一个思想——“宇宙同构”的思想。数字“1”就是宇宙同构思想的哲学符号，并赋予宇宙同构思想一个哲学个在形式。
所有的数都是从数“1”开始的，数“1”也包含了所有数的可能，只要你把数“1”放到宇宙关系中进行动态考察就能发现这一点。当你用数“1”指代某个基本粒子时，数“1”（对宇宙来说）就意味着无穷小甚至是“0”；当你用数“1”指代整个宇宙链时，数“1”（对基本粒子来说）就意味着无穷大。你可以将数“1”放到宇宙关系中的任何地方，因此数“1”就是一切；同时它又是数的最小砖块，所有的数都由数“1”构成。数“1”也因此建立起了同一切数之间的联系，承载了数的全部思想，成为全体数的构件、纽带和起点。当中外先哲们慨叹“万物归于一”时，实际上是对数“1”所承载的宇宙同构思想做了一次最为朴素的表述。
但数“1”同所有其它数之间的联系，也仅仅只是潜在于数“1”之中，数“1”仍然只是数“1”自己——它并没有展开为任何其它的数。对其它数来说，数“1”还仍然坚守在自己的出发点上还没有开始出发，也就没有展开为“数的关系”，“数的关系”此时还像一粒种子一样潜在于数“1”之中，也被限制在数“1”之中。而“数的关系”就是宇宙统一关系和宇宙同构关系之间的关系——是这一关系的符号形式。就像存在必须存在于宇宙关系一样，数也只能存在于“数的关系”中。
因此，数“1”——作为关系——乃是宇宙关系中的全部层次与层次之间的同构关系，此即数“1”的思想，也即“数的关系”；数字“1”——作为存在——是宇宙同构思想的哲学符号，无论你将该符号记成其它任何形状，它都指向数“1”的思想、也即宇宙同构的思想；数字“1”——作为个在——仅仅是宇宙关系中所有可能层次上的存在者自己。“宇宙同构”就是用中文名词表示着的数字“1”，数字“1”就是用阿拉伯符号表示着的“宇宙同构”思想——你甚至可以将它们视为一枚硬币的两面。
顺便说一下数“0”。物理宇宙是不需要数“0”的，数“0”只能是人类自己创造出来的数字符号。数“0”在物理学中的含义是一种起始状态，而这一起始状态的概念恰恰不是数“0”的思想。数“0”在数学中意味着“无”，且和哲学符号中的“无”的概念是一致的。物理宇宙中没有绝对的“无”存在，哲学宇宙关系中的数“0”也就不可能存在于物质宇宙关系之中，而只能存在于物理宇宙关系之人为的“边”上。这个“边”与物理宇宙关系相近但不相连，属于人所“创造”出来的一种特殊符号——它将自己排除在物理宇宙关系之外（即“无”）。
数“0”作为物理存在因而是不真实的，而作为哲学存在却是有用的。从理论上说，数“0”不可以出现在物理宇宙关系中的任何一个存在层次上，而只能出现在该层次之“边”上，但它无论出现哪里，都不代表该层次上的存在者自己，而只能代表着该存在者“之外”的一个与该存在者“有关”的“边”。这里的“之外”规定着数“0”的思想（即“无”）；“有关”则规定着数“0”的起始方向——它不能存在于这一方向所指示的未来和现在区域，而只能存在于这一方向所指示的过去区域；至于“边”则规定着数“0”的起始位置——它存在于过去区域同现在区域“有关”的地方，既不代表现在区域也不代表过去区域，只是与两者“有关”而已。显然，这样的位置在物理宇宙关系中是不真实的。数“0”所建立起来的起始方向上的现在区域就是数“1”，但数“O”自己却存在于数“1”之前的一个虚构的“边”上。因为数“0”在物理宇宙关系中是不存在的，它是人类为了自己的方便所创造出来的符号而已。至于数“0”在哲学宇宙关系中为何有用与可能，乃是因为哲学符号与物理存在之间的差异所致，也是哲学宇宙关系与物理宇宙关系之间的差异所致——具体地说是哲学符号的离散性特征给数“0”留有位置。
推论2.2：数的本质乃是宇宙关系统一公理和宇宙关系同构定理两者之间的关系。
尽管数“1”包含了所有数的可能和起点，但它自己并不能直接形成一个完整的“数的关系”（在纯数学家看来或许有这样的可能），因为宇宙同构定理不能独立产生“数的关系”——它只能产生数“1”。数“1”只是数的种子，它还没有落到土壤里生根发芽，更没有成长为数的参天大树。数“1”所需要的土壤就是宇宙统一关系。从另一方面说，宇宙同构关系也不能单独存在，它始终要以宇宙统一关系为背景，宇宙同构也只能是宇宙关系内部的关系，是宇宙关系内部各层次之间的关系。
而当我们让宇宙同构关系回归到宇宙统一关系之中，就构成了宇宙同构关系在宇宙统一关系中的连续、无限和层次性规定，数“1”这粒种子也就在宇宙关系的土壤中生根、发芽。数和“数的关系”首先得到的是它们的根基——这就是正数、准确的说是全体正数的集合。因为全体正数的集合直接就是宇宙同构关系在宇宙统一关系中的连续（准确的说，是在我们这个物质宇宙中的连续），是数“1”这粒种子发芽展开后的第一批成果，其它的数都是在这一成果之上生出来的新芽。全体正数的集合，就是“数的关系”的正数形式，也是“数的关系”的基础——就像我们的物质宇宙是整个宇宙链的基础一样。全体正数的集合可以描述为：（在我们物质宇宙中）宇宙同构关系和宇宙统一关系之间的关系——是这一关系的符号系统，而“数的关系”就是宇宙同构关系和宇宙统一关系之间的关系，是这一关系的符号形式。
现在，我们可以尝试着描述数的本质了。数——作为存在——就是“数的关系”中的存在层次，是“数的关系”的层次规定，是该层次上的存在；数——作为关系——乃是宇宙同构关系和宇宙统一关系之间的关系，该关系直接就是“数的关系”。宇宙统一思想和宇宙同构思想，共同成为数的宇宙学基础——数本身就是宇宙统一思想和宇宙同构思想之间的关系，是该关系的层次规定。
推论2.3：数——作为个在——直接表现为具体的数与数之间的关系。
一旦“数的关系”被展开，众多层次上的数的存在（即单个的数）就获得了个在的形式，数的世界获得独立，作为个在的数与数之间的关系也就具有了现实意义。与此同时，数（在人类智慧的帮助下）也获得了神奇的自组织能力——生成了众多数与数之间的关系。表面上看，数还“抛弃”了它的宇宙来源而直接展现为数与数之间的关系——即数直接表现为数与数之间的关系而不再直接显示出数同宇宙关系、同宇宙同构关系之间的关系。
数——作为个在——直接表现为具体数与数之间的关系。
首先，任意某个数——作为个在——既表现为它与数整体之间的关系，也表现为它与任一其它数之间的关系。对一任意数来说，揭示出它与数整体之间的关系实际上就是表达了它在“数的关系”中的层次规定，任意一个数都可以从这些规定中获得存在。该数（作为此数）与另一任意数（作为彼数）之间的关系，就构成了数的运算关系，简称算式。完整的算式由算式因子（即此数和彼数）、运算符号（即运算法则）和结果三部分构成，其中运算符号表达的就是因子之间、因子与结果之间的运算关系，该关系构成了运算法则。运算的结果就是得到一个新数，因而也就生成了作为结果的新数与运算因子之间的关系。同理，运算结果又可以（作为新的运算因子）和另一任意数（同样作为运算因子）建立新的运算关系，从而生成更多也更复杂的数与数之间的关系。最终的意义有三个：一是所有的数甚至包括可能的数都通过这一途径而建立了联系，所有的数也因此而成为一个整体。二是所有的数作为一个整体又可以通过这一途径生成更多的数，数与数之间的关系因而就具有了无限延伸的可能。最后也最严重的后果是，仅仅是在数与数之间（而不再需要依托物理实在）就不仅可以生成出新的数来，还可以生成新的运算法则出来。正是数的这一特性，为纯数学提供了无限可能。
其次，任一作为个在的数还总是表现为它与数“1”之间的特殊关系。任意某个数与数“1”的关系都可以描述为该数与它自己的关系（通过乘除运算），并因此建立它与自己的联系；都可以描述该数（在约定层次上）与它最相邻的两个数之间的关系（通过加减运算），并因此建立起它与所有数的联系。此处的数“1”再次表现出它作为个在的特性——数“1”既仅仅指代它自己，同时又是数的砖块。
最后，任一作为个在的数还表现为它与数“1”的思想即宇宙同构思想之间的关系。从理论上说，任一数都可以被处理成数“1”，即都可以用数“1”来指代它。因而任一数也都包含有宇宙同构的思想——只是没有采用数“1”的形式而采用了自己的形式罢了推论2.4：离散和连续的矛盾是数和数学的主要矛盾，而其终极来源就是宇宙链之质能时空统一关系中的连续与离散的矛盾。
细心的读者可能已注意到，我们在前面的论述中实际上是在肆无忌惮地使用着数的“连续性”规定。但具体的数——作为个在——总是离散着的，作为个在的离散着的数是如何在“数的关系”中连续着，也就成了需要进一步解决的问题。而解决该问题最大的难点在于：所有能完整写出来的数都是离散着的点，所有能写出来的数都不是连续的。
至于那些无人能完整写出来的数（包括无理数和无穷大数）被康托尔统称为超限数，如果将无理数即无限不循环小数的小数点除掉，它们实际上就成了无穷大数。全部超限数的共同特征就是“无限”二字。在本书看来，也正是超限数中的无理数构成了有限数之间的连续性，而无穷大数则构成了所有有限数作为整体同无限数之间的连续性。选任意一个有小数点的超限数A，它总是具有这样的特征：当该数精确到小数点后第N位时，总是存在有与它最近的两个数（一个大于该数10的-N次方，另一个小于该数10的-N次方）；当该数进一步精确到小数点后第N 1位时，仍然能找出与它最近的两个数；即使当该数不断精确到小数点后第N ∞位时，还是会存在有两个与它最近的数——如此一来，该数实际上就成了与它相近的两个数之间的黏合剂，该数连同它最近的两个数也就成为一个连续的整体。将这一特征推广到整个正数集合中，全体正数也就具有了连续性。
如果基本粒子中也有数学家的话，那么它们眼中的数就只有离散性而不会有连续性——所有存在者都可以用整数倍的基本粒子来表述。幸好有超限数出面解围，还原了物理宇宙连续性的本质。之所以需要通过超限数来“还原”数的连续性，乃是因为作为哲学符号的数字与宇宙关系同构性之间的差异所决定的：宇宙关系的同构性本身是连续着的，是连续与离散的统一体，但用于表达同构关系的数字却是先天离散着的。这就迫使宇宙关系的连续性，不得不以“超限数”的方式在先天离散着的数字符号中显露出来。
数和数学之离散与连续的矛盾统一，首先可以追溯到宇宙统一公理和宇宙同构定理那里，宇宙统一公理包含着宇宙的连续性也包含着数的连续性，而宇宙同构定理本身则包含着离散与连续的统一：存在者如“同构”着宇宙关系的层次性就意味着存在者之间的离散，存在者如“同构”着宇宙关系的无限性就意味着存在者之间的连续。数就是这样在连续的宇宙统一公理中以宇宙同构定理的形式离散着。第二，数和数学之离散与连续的矛盾统一，还可以在质能时空统一关系中、在质能时空的离散与连续的矛盾中找到根源。如果说“数的关系”来源于质能时空统一关系，那么数的离散就来源于物理宇宙中质点的离散，数的连续则来源于时空的连续。第三，从终极意义上说可归因于宇宙链的连续与离散的矛盾，一切连续和离散的矛盾都可以在宇宙链之连续与离散的矛盾中找到终极根源。
以上四个推论构成了数的基本概念。
第三节 数的模型
为更简便、直观地考察“数的关系”和数的本质，我们按照“思想实验”的形式给数建立了一个简单的模型，简称“数模”。具体办法就是将的图形先移植过来，然后再无限延伸下去，这样一个可以无限延伸下去的数模。理解这样的数模，需要附加三个条件。一是设想图中的每个小三角形可以无限小，甚至可以比基本粒子还小，因而是真正意义上的无限小，如此一来，整个图就可能卷缩至一点。二是整个图形的层次可以自上而下向下无限延伸，因而也就始终保持着正三角形的形状——保持着图形的统一性。三是在同一个层次上，我们设定有从左到右的顺序——即右边的数比它的左边的邻居大“1”。同一个层次上从左到右的顺序，加上不同层次从上到下的顺序，就保证了图形的连续性。有了这样三个基本条件，我们就可以用数模来表示任何正数。
先看数“1”。数“1”会出现在哪里呢？答案是它可以出现在数模中的任何一个地方，准确的说法是：在保证数模连续性的前提下，数“1”可以出现在数模中的任何一个地方。从顶点O点出发，沿着自上而下、从左到右的顺序，你任意选定一个地方比如O1点然后宣布：以上你所选择（从O点到O1点）的图形就表示数“1”，均可以成立；即使你在顶点O点处就直接宣布它代表数“1”也同样成立。在本章的前两节文字中我们已经知道，数“1”可以出现在“数的关系”中的任何一个层次上，现在它竟然可以出现在数模中的任何一个地方，这就意味着：数模有可能就是“数的关系”的模型，甚至还是宇宙关系的一个自相似图形——这就像我们在第三章的“思想实验”中所表达的那样。只是我们在用数模表示“数的关系”时，必须要将数模设想成可以无限延伸的图形。数、“数的关系”和宇宙关系，都可以统一在的图形中。数“1”与数整体之间的关系、与其它数（如0和∞）之间的关系，也都可以在该图形中找到答案。
推论3.1：任何正数都可以通过三角形数模表示出来，数模（作为整体）所表示的就是“数的关系”（这里显然回避了超限数和负数，下面的文字里会涉及到）。
此外，如果你将“从O点到O1点”的二维图形拉直，它实际上等同于欧氏几何中的一条线段；如果你将整个数模拉直，它将等同于一条以O点为起点的一条射线。因而，数“1”在欧氏几何中可以是一条任意长度的线段，可以出现在以O点为起点的这条射线上的任何地方。很明显的是，欧氏几何中的线段表示法远没有“思想实验”中的三角形表示法清晰、直观且富有层次性。
如果有人问：在“思想实验”图形中，数“1”可能出现的位置中有没有一些位置显得更为特别一些？尽管数“1”可出现在宇宙关系中的任何层次上，但“思想实验”图形给我们的感觉是，如果数“1”恰好出现在完整的三角形层次上，那么用于表示数“1”的图形依旧是完整的正三角形。能够保持三角形完整性的层次，应该就是那些特别一些的层次。
之所以提出这样的问题，是与数的进位制有关。如果没有进位制，第一个数记成“1”，第二数记成“1 1”，……走不了多远，计数就成了一件不可能完成的工作。进位制本质上是由不同数量的连续着的基数构成的集合、并以集合为基数构成更高的层次——这些不同的层次就被称为不同的“数位”。尽管数的数位总是被定义为个、十、百、千、万……直至10的第N次方，但每个数位上（由连续的数构成）的集合元素的数量则是可以不同的，因而也就有了不同的进位制。理论上说，你可以选择任意个数的连续数作为一个数位的集合，即你可以选择2进位制、3进位制乃至N进位制，但三角形的数模似乎在告诉我们，总有少数能够保证完整三角形图形的进位制显得特别优越一些。现在的问题是：它们是哪些进位制呢？
我们先按10进位制给三角形数模中的每个小三角形依次标上数字，第一层的三角形为数“1”，第二层的三个三角形依次为数“2、3、4”，第三层的五个三角形依次为数“5、6、7、8、9”。并且我们还得知，在10进位制中，第N层的数字有2N-1个，最大的一个数为N2，以此类推，直至无穷。但这样一来，数模中也就无法反映出进位问题。而要解决进位问题，关键问题是要解决“0”的位置——在数模中我们没有给“0”留有位置。数模本身也并不需要“0”，因为数“0”直接就是人制造出来的数字。例如正物质和反物质相遇湮灭为光子，光子并不等于“0”，但对我们人类来说，要描述这一事件发生后的物质结果就必须记作“0”。
也正因为如此，数模中的进位如果按数模自己的标准，应该存在有“N2”进位制；如果按照人择标准，它应该是“N2 1”进位制。人择标准的办法就是：将所选数位上的大三角形作为“1”同数位内的全部小三角形的数量相加，这里的“相加”就意味着“进位”，相加1次就意味着进位1次（可写成10的1次方），相加N次即进位N次（可写成10的N次方）。假设我们选择数模的第二层进行进位，第二层内的全部小三角形数量是“4”，由这4个小三角形又构成了一个大三角形，将这个大三角形视为“1”同“4”相加，其和为“5”，我们得到的就是5进位制，该5进位制的图形就可以写成数10.如果在该图形中的每个小三角形中再画上4个小三角形，就意味着每个小三角形的数字由1进位到10，而原图形也就应该由数10进位到数100.但现在的问题是，图中仅有4个表示10的三角形，采取的补救措施就是：将表示10的4个三角形再“相加”一遍（加上在由个位进到十位时的“相加”共“相加”了两次，表示进位两次）得到4，再与表示100的大三角形“相加”一次，就得到了第5个10.也就是说，要用数模表示10的N次方这样的数，那些表示10的三角形就得进位N次，表示100的三角形就得进位N-1次，表示1000的三角形得进位N-3次，……表示10的N次方的三角形得进位1次。仅仅因为没有给“O”留有位置，我们就必须多做这么多的补救工作，由此也见证了数“O”的重要性。
对数模自身来说，数模中的第一层不可能有进位制，第二层存在有一个4进位制，第三层是9进位制，第N层是N2进位制。以上这些进位制比较优越。而对于人类来说，数模中的第一层存在有一个“1 1”即2进位制。第二层是5进位制，第三层是10进位制，第N层上的进位制乃是“N2 1”进位制。由此我们得到本节的第二个推论（或猜想）即推论3.2.
推论3.2：在“数的关系”中，总是存在有一些特殊的进位制。对于没有数“0”的数模来说，它们是“N2”进位制；对于发明数“0”的人类来说，它们是“N2 1”进位制。这些进位制总是比别的进位制显得优越。简称进位制猜想。
特殊进位制的优越性表现在两点上。第一点就是保证了数模总是能以完整的正三角形图形出现，第二点也是最为重要的一点，它们保证了数在任何层次上的同构关系。你可以选择该进位制中任何一个层次的任何一个小三角形，并在该小三角形里面划分出N2个小三角形来，从而重演“N2 1”进位制。数的同构思想和宇宙同构的思想，都可以在“N2 1”进位制的数模中得到完美体现。反过来，如果你选择了一个6进位制，你就做不到这一点-5进位制的完整三角形外拖出来1个小三角形的尾巴，而这样的图形你是无法在每个小三角形中实现同构的，数的同构思想也就无法在6进位制的数模中体现出来。
接下来的问题是：超限数出现在数模中的什么地方？如何在数模中给超限数乃至无理数重新定义？
在本书看来，超限数是人给宇宙出的难题，而不是宇宙给人出的难题。只要宇宙中有基本粒子存在，就不会有超限数存在——所有的存在在基本粒子的层次上都可以用整数表达。基本粒子中如果也有数学家的话，它们也不会为超限数烦恼，当然也就理解不了超限数。但由于哲学符号所固有的离散与连续的矛盾（见第六章第三节），决定了我们只能用离散的哲学符号来表达连续的宇宙关系。数字属于哲学符号的一个特例，而“数的关系”也是宇宙关系的一个特例，哲学符号的离散同物理宇宙连续之间的矛盾——被移植到数的世界里——就成了具体数字的离散同整体“数的关系”的连续之间的矛盾。并且，这一矛盾还需要在“数的关系”中被统一起来，而超限数就充当了统一的媒介——它总是与它最邻近的数连续着。
这就意味着要在数模中给超限数寻找位置，那就只能是在那些最小三角形的边界上寻找。而具有讽刺意味的结果是，超限数告诉我们：那些最小三角形的边界实际上是根本不存在的——如果真有边界的话，边界自己肯定是离散着的。超限数实际上是存在于两个最小三角形之间“看不见”的边界上，超限数实际上是“不在而在”着也“无处不在”着。也正因为超限数的这一特性，数的连续就成为没有连接中介物的连续——这才是一种终极意义上的连续。数的连续是在以一种特殊的方式，旁证着宇宙物理时空的连续、演绎着宇宙关系的连续。
超限数的这种独特的连续性，还可以在无限循环小数中被切断——具体手段就是选择不同的进位制。比如1/17在10进位制中是个无限循环小数，但我们如果采取17进位制，该数（即10进位制中的1/17）就可以表达为数“0.1”——超限数也随之被消解了。也正是使用同样的方法，希腊人曾把超限数（特别是无理数）的“无限”问题处理成几何中的“有限”问题。反过来，我们也可以运用同样的方法制造出更多的超限数。
推论3.3：超限数的本质是“数的关系”之连续性在离散着的数字符号中的独特表现形式。这一独特性是由宇宙关系的连续性和哲学符号固有的离散性共同决定的。
因此，对“数的关系”来说，超限数不仅是必然的更是必须的。在数被先天赋予了离散性之后，超限数就必须以一种非同寻常的方式来保证“数的关系”的连续性。超限数可以说是对数的离散性局限的超越、因而也是对数的连续性的回归，而其中的无理数更是对数字自身的“无理”行为（即只具有离散性并因此而抛弃了连续性）的一种纠正。也就是说，超限数是对哲学符号局限的超越，而无理数是对哲学符号“无理”行为的纠正。
到目前为止，数模中的数都只能是向下无限延伸。现在的问题是：数模能否向上延伸？如果可以的话，由O点向上延伸的数又是一些什么样的数？答案是显而易见的，它们就是负数。如果将数模视同宇宙关系的话，那么由O点向上延伸的图形就是存在于我们物质宇宙之前的反物质宇宙，向下延伸的图形就是我们这个物质宇宙。负数因此也就获得了它的宇宙学意义——负数是那些存在于反物质宇宙之中的数，准确的说是生活在物质宇宙中的我们为反物质宇宙中的“数的关系”所建立的符号。假设你是一位反物质宇宙里的数学家，你也只能站在你的反物质宇宙里用负数来为我们物质宇宙中的“数的关系”建立符号。如此一来，正、反物质宇宙相连的宇宙链，也就“映射”出正、负数相连的“数的关系”链条。
如果仅站在我们的物质宇宙中考察，负数当然比“0”还要小；如果平等地考察两个宇宙，负数和正数的绝对值都不会比“0”小。“负负得正”的运算法则还告诉我们，每个反反物质宇宙从本质上说就是物质宇宙——我们的物质宇宙也可以描述为反反物质宇宙。至于由负数产生的复数（及复平面），可以被看成是用于描述宇宙链中相邻的两个宇宙“数的关系”的特殊数，表述的是两个相邻宇宙之“数的关系”之间的关系。至于复数平面在物理学、天文学乃至日常生活中的广泛应用，可以看成是相邻宇宙“数的关系”之间的关系在我们物质宇宙中的自相似。
推论3.4：负数和复数对应于反物质宇宙中的“数的关系”，是物质宇宙中的我们为反物质宇宙建立的“数的关系”的符号。
如此一来，我们的数模就完成了对宇宙链中“数的关系”的模拟。两者不同的是，宇宙链由无数个正、反物质宇宙构成——是可以无限延长的，而数模仅需要描述两个相邻的正、反物质宇宙的“数的关系”就足够了。
