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第28章 高考频道(3)

例2实数x,y满足x≥1,y≥1且(logax)2+(logay)2=log(ax2)+loga(ay2)。当a>1时,求loga(xy)的取值范围。

分析:题中所涉及的logax,logay都可以看成一个复杂的变量,所以设u=logax,v=logay(其中u≥0,v≥0),则原题转化为:已知u≥0,v≥0且(u-1)2+(v-1)2=22,求u+v的取值范围。

很明显,原来复杂的问题经过一次转化,已经得到了简化。

此时,u+v中仍然含有两个变量,仍然难以求出u+v的取值范围,所以设u=1+2·cosθ,v=1+2sinθ(其是-π6≤θ≤23π),∴u+v=2+22sin(θ+π4)(π12≤θ+π4≤11π12),∴1+3≤u+v≤2+22,∴loga(xy)的取值范围是[1+3,2+22]。

第二次的转化是将题中涉及的两个变量转化为一个变量,这样,题目的求解就变得很简单。

3正面问题反面化

在处理某一问题,按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难,用逆向思维的方法去解决,往往能达到突破性的效果。

例3若函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像与x轴的两个交点中至少有一个在x轴的正半轴上,试求实数m的范围。

分析由于“f(x)的图像与x轴的两个交点中至少有一个在x轴的正半轴上”情况较复杂,它包括:(1)两个交点都在正半轴上;(2)只有一个交点在正半轴上,且后者又有另一交点在负半轴上或在原点。因此,欲直接求m的范围必须分情况讨论。现从反面考虑,改求“使交点都不在x轴的正半轴上”的m的范围。

由m≠0△=(m-3)2-4m>0,解得m∈I=(-∞,0)∪(0,1)∪(9,+∞)又当两点都不在x轴的正半轴上时,有m∈I,3-mm<0,

1m≥0,解得

m>3且m∈I,即当m>9时,f(x)的图像与x轴的两交点都不在x轴的正半轴上,那么当m<0或0<m<1时,图像与x轴的正半轴至少有一个交点。

可见,正面的思考可能导出正确的结论,但反面的思考也常常使人茅塞顿开,绝处逢生。

4代数问题几何化

几何问题代数化是解析几何的基本方法,但如果能突破使用常规方法的思维定势,将代数问题用几何方法来研究,能有效地培养学生的思维能力,激发学生的创新意识。

(2003年全国高考题统编教材卷)

例4已知c>0,设P:函数y=cx在R上单调递减,Q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R。如果P和Q有且仅有一个正确,试求c的取值范围。

分析:此题用纯代数法求解比较麻烦,应设法将问题变换转化,经观察,并联系问题的几何意义,可以知道Q:x+|x-2c|>1的几何意义为:在数轴上求一点P(x),使P到A(0),B(2c)的距离之和的最小值大于1。显然P在A左端或B右端时,|PA|+|PB|>|AB|;

当P的线段AB上时,|AP|+|PB|=|AB|,那么P到A、B两点的最短距离为|AB|=2c>1。所以c>12。

5特殊问题一般化

特殊与一般是对立统一的,特殊融于一般之中。解题中通常是将一般问题特殊化,先用特殊的情形探求解题的思路或问题的结论,然后在一般情况下给出结论。但是若遇到有些特殊问题无法解决时,则可以及时打破“特殊”的定势,对问题进行从特殊到一般的转换。

例5设f(x)=4x4x+2,求f(12005)+f(22005)+…+f(20042005)。

分析:由所求中的数量特征:12005+20042005=1,22005+20032005=1,……可将问题转化为研究f(x)=4x4x+2的性质,因为f(a)+f(1-a)=4a4a+2+41-a41-a+2

=4a4a+2+44+2×4a=1,于是得出一般性结论f(a)+f(1-a)=1。这体现了从特殊到一般的转化思想。

解:∵f(a)+f(1-a)=4a4a+2+41-a41-a+2=1,

∴f(12005)+f(22005)+…+f(20042005)=[f(12005)+f(20042005)]+[f(22005)+f(20032005)]+…+[f(10022005)+f(10032005)]=1+1+…+1=10021002个

6变量问题常量化

在有些数学问题中,涉及到多个变元,我们可选取其中一个变元为“主元”,而把其他的变元看作常量,从而达到简化运算的目的。

例6

设f(x)=lg1+2x+…+(n-1)x+nxan

其中a∈R,n是任意给定的正整数,且n≥2。如果当x∈(-∞,1)时,f(x)有意义,求a的取值范围。

分析:本题有三个变元a,n,x,条件复杂,解题方向不明,但若选择a为“主元”,视n,x为“常量”,运作常量与变量转化的策略,问题容易解决。

解:由题意得:

1+2x+…+(n-1)x+nxa>0,

∴a>-[(1n)x+(2n)x+…+(n-1n)x]。∵n≥2,x∈(-∞,1),

∴(1n)x+(2n)x+…+(n-1n)x≤1n+2n+…+n-1n=n-12,∴a>-n-12。

7相等问题不等化

相等和不等是客观世界中的一对矛盾,也是数学中的两个重要关系。在许多情况下,把不等问题转化成相等问题,可以减少计算量,提高正确率;把相等问题转化为不等问题,能有效地突破难点,找到问题的核心,做到出奇制胜。

例7已知α、β都是锐角,且满足cosαsinβ+cosβsinα=2,

求:α+β的值。

分析:从条件cosαsinβ+cosβsinα=2来看,cosαsinβ和cosβsinα的含义是相同的,所以可考虑把2拆成1+1,来分析cosαsinβ和1的关系,也只有当cosαsinβ=1时,原条件成立,即cosα=sinβ,此时α+β=π2。也可逆向考虑,从条件可看出,当α+β=π2时,条件是成立的;当α+β>π2时,有π2>a>π2-β>0,此时有cosα<cos(π2-β)=sinβ,从而有cosαsinβ<1。同理,有cosβsinα<1,所有cosαsinβ+cosβsinα<2,不合题意,同理,当α+β<π2时,也不合题意。在此题的思考过程中,常数2起了关键的作用。

8实际问题数学化

对于实际应用题的求解,我们往往采用数学建模方法,将问题转化数学形式来表示,使求解问题数学化,进而得到解决。

例8一个农民有一片广阔的草地用来放牛,假定草地上各处草的生长速度是均匀的,牛未吃草时,各处草地一样高,并且每头牛所吃的草也一样。已知3头牛在2周中能吃完2亩地上的草;2头牛在4周能吃完2亩地上的草,问要多少头牛才能在6周中吃完6亩地上的草?

分析:问题难点在于草是不断地生长的,牛要在6周中吃完6亩地上的草,则牛不仅要吃完原先已生长出来的草,而且还要吃完这6亩地上在6周里陆续长出来的草。

设x头在n周吃完m亩地上的草,每头牛每周的吃草量为v,牛开始吃草时,草的高度为ho,草的生长速度是每周长h,则nvx=m(ho+hn),其中v,m,h,ho为常数。

所以nxm=h0v+hnv①

于是将①式看成:nxm是关于n的一次函数(斜率为hv),因此设直线上的三点A(2,3×22),B(4,2×42),C(6,6x6),即A(2,3),B(4,4),C(6,x),根据直线方程的定义得:4-34-2=x-36-2所以x=5,即要5头牛才能在6周中吃完6亩地上的草。

巧妙转化灵活求解

数学中一种很重要的思想和很有效的方法是“转化你的问题”。G·波利亚一再指出:“当原问题看来不可解时,人类的高明之处就在于迂回绕过不能直接克服的障碍,就在于能想出某个适当的辅助问题。”这就是说,当我们碰到困难的问题时,要善于巧妙转化,化难为易,化未知为已知,达到灵活求解。

一、复杂问题简单化

复杂的问题常常是由简单问题构成的,因此,每遇复杂问题,总是设法将其转化为简单问题来处理,这也是转化中的一条重要原则。

例1已知a、b、c、d∈(0,1),试比较abcd与a+b+c+d-3的大小,并给出你的证明。

分析:先考虑一个简单的问题,比较ab与a+b-1的大小。

∵ab-(a+b-1)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1)>0

∴ab>a+b-1

这一探索过程有两方面的作用,一是在方法上是否有借鉴作用,即能否将abcd-(a+b+c+d-1)也类似地进行因式分解呢?经过试探,回答是否定的;二是这个结论可以作为我们继续探索的工具。下面我们来比较abc与a+b+c-2的大小。

∵0<ab<1

∴abc=(ab)c>ab+c-1

>(a+b-1)+c-1

=a+b+c-2

更进一步,则有

abcd=(abc)d>abc+d-1>(a+b+c-2)+d-1

=a+b+c+d-3

对于一个聪明的解题者来说,先考虑问题的简单情形,从最容易解决的情况入手,然后再逐步推广到一般的情形,常常会收到意想不到的效果。

二、抽象问题具体化

如在解决抽象函数的问题时,往往需要借助具体函数,通过对符合条件的实例进行剖析,然后进行求解,做到抽象问题具体化。在中学阶段,抽象函数对应的具体特殊函数模型有:

抽象函数f(x)具有性质特殊函数模型

f(x+y)=f(x)+f(y)正比例函数:f(x)=kx(k≠0)

f(x+y)=f(x)·f(y)指数函数:f(x)=ax(a>0,a≠1)

f(xy)=f(x)+f(y)对数函数:f(x)=logax(a>0,a≠1)

f(xy)=f(x)·f(y)幂函数:f(x)=xa

f(x)+f(y)=2f(x+y2)f(x-y2)余弦函数:f(x)=cosx

f(x+y)=f(x)+f(y)1-f(x)·f(y)正切函数:f(x)=tanx

例2设函数f(x)的定义域关于原点对称,且存在常数a>0,使得f(a)=1,f(x-y)=f(x)-f(y)1+f(x)·f(y)问f(x)是周期函数吗?若是,求出它的一个周期;若不是,说明理由。

分析:由于f(x)为抽象函数,故必须寻求感性实例的支撑,由f(x-y)=f(x)-f(y)1+f(x)·f(y)的结构,不难联想到两角差的正切公式,tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanα·tanβ,又y=tanx的定义域关于原点对称,

且存在π4>0,使tanπ4=1,故tanx是f(x)的一个原型,由于y=tanx为周期函数,且π是它的一个周期,可猜想f(x)为周期函数,且4a是它的一个周期。进而证明f(x+4a)=f(x),得到f(x)为周期函数,它的一个周期为4a。

三、高维问题低维化

在不少数学问题中,常常将三维空间的问题,转化为二维平面的问题来处理,这是解立体几何问题的一条常见途径。

例3如图1正四棱锥的各条棱长均为a,M是PC中点,求沿着棱锥表面的A、M之间的最短距离d。

分析:从A出发,必须在三维空间越过侧棱PB(或PD)才能到达M点。较为复杂,因而想到将棱锥的侧面展开在同一平面上,转化为平面问题,以便于处理,如图2,在△PAM中∠APM=1200,PA=aPM=a2

图2

∴d2=(a2)2+a2-a·a2·cos120°=74a2

∴d=72a

四、正面问题反面化

在处理某一问题,按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难,甚至不可能时,用逆向思维的方法去解决,往往能达到突破性的效果。

例4已知抛物线C1:y=x2-x+m,C2:y=x2+2mx+4C3:y=mx2+mx+(m-1)若这三条抛物线中至少有一条与x轴有公共点,试求实数m的取值范围。

分析:题设中“三条抛物线中至少有一条与x轴有公共点”的情况比较复杂,共有三类七种,即:

(1)x轴与C1相交,而与C2、C3不相交;

(2)与C2相交,而与C1、C3不相交;

(3)与C3相交,而与C1、C2不相交;

(4)与C1、C2交,而与C3不相交;

(5)与C1、C3相交,而与C2不相交;

(6)与C2、C3相交,而与C1不相交;

(7)与C1、C2、C3都相交。

依次列式求解当然十分繁杂,换个角度考虑,“至少有一条与x轴相交”的反面,则应该是“三条与x轴都不相交”,记这时m的集合为M,利用补集的思想便可获解。显然,此时的解题过程大为简化。

五、陌生问题熟悉化

如果给出的问题感到陌生,将会影响数学思维,此时要进一步审题,分析当前问题与已解决问题之间的联系,如结构上的关联,形式上的相似,内在的和谐统一等等,从而将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理。

例5设k∈R,关于x的方程x4-2kx2+k2+2k-3=0有实根,求其实根的取值范围。

分析:原方程如果看成x的4次方程,就比较陌生而复杂,如果换个角度看问题,把它看成k的2次方程,就是熟悉的问题了,问题转化为k2+2(1-x2)k+(x4-3)=0有实数解,求x的范围,由△=4(1-x2)2-4(x4-3)≥0得x2-2≤0

∴x的取值范围是-2≤x≤2

六、实际问题数学化

对于实际应用题的求解,我们往往采用数学建模方法,将问题转化数学形式来表示,使求解问题数学化,进而得到解决。

例6一个农民有一片广阔的草地用来放牛,假定草地上各处草的生长速度是均匀的,牛未吃草时,各处草地一样高,并且每头牛所吃的草也一样。已知3头牛在2个星期中能吃完2亩地上的草;2头牛在4个星期中能吃完2亩地上的草,问要多少头牛才能在6个星期中吃完6亩地上的草?

分析:问题难点在于草是不断地生长的,牛要在6个星期中吃完6亩地上的草,则牛不仅要吃完原先已生长出来的草,而且还要吃完这6亩地上在6个星期里陆续长出来的草。

设x头牛在n个星期中吃完m亩地上的草,每头牛每星期的吃草量为v,牛开始吃草时,草的高度为h0,草的生长速度是每星期长h,则nvx=m(h0+hn),其中v、m、h、h0为常数。

∴nxm=h0v+hnv①

于是将①式看成:nxm是关于n的一次函数(斜率为hv),因此设直线上的三点

A(2,3×22),B(4,2×42),C(6,6x6),即A(2,3),B(4,4),C(6,x),根据直线方程的定义得:4-34-2=x-36-2

∴x=5,即要5头牛才能在6个星期中吃完6亩地上的草。

总之,我们在平时的解题教学中,要培养“转化”意识,对于一些较复杂的问题,不要在“抽象”的迷宫里兜圈子,若改变方向,从新的角度、新的观点出发重新提出新的问题,亦即对原来的问题进行转化,使问题轻而易举地获解。

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