我们知道，位数表示一个整数所占有数位的个数；数位是指一个数的每一个数字所占的位置。对于1024这个数而言，我们说它是4位数。如此看来，0也占一个数位了。但是记数法里有个规定：一个数的最高位不允许是0，为什么要加上这个规定呢？如果没有这个规定的话，那么“0”就应该是最小的一位数，因此，00是最小的两位数，000是三位数……，那么，这样一来，最小的一位数、两位数、三位数乃至任意位数都是0，这显然是错误的。不仅如此，如果没有这样的规定，对一个数也就没办法确定是几位数，例如6是一位数，06就变成两位数，006就变成三位数……也就是说，同一个数，我们可以任意称它为几位数，“位数”这一概念也就没有存在的必要了。因此，我们平常所说的一位数、两位数、或更多的位数只是指自然数。0不是自然数，不能说它是几位数。那么，最小的一位数是0还是1呢？同学们清楚了吗？
你也许还会问：生活中不是有许多04、007、046这样的数吗？这是怎么回事呢？原来，这是在特定条件下表示特定意义的。如田径运动会上某运动员的号码是072，表示参加该运动会的运动员数不足100人。
“增加了”和“增加到”有什么不同
在学习应用题时，我们常会遇到“增加了”、“增加到”等术语，这些术语虽然只有一字之差，但其意义却大不相同。
例1：一个工地用7辆汽车来运石头，每辆汽车一天可运12吨石头。后来又增加了同样的汽车3辆，每天可以运多少吨石头？
解：（7+3）×12=120（吨）
答：可以运120吨石头。
例2：某机械厂原来每年可生产车床5000台，采用新技术后，每年生产的车床比原来增加了30％，现在每年生产车床多少台？
解：5000＋（5000×30％）=6500（台）
答：现在可生产车床6500（台）。
从上面的例子可看出，“增加了”是指在原数的基础上增加的部分。不包括原数在内。与“增加了”说法相同的还有“增加”、“增长”、“增长了”、“多”、“多了”等等。在应用题数量关系中不涉及倍比关系时，“扩大”、“扩大了”与“增加了”也是同一个意思。。
例3：一个学校原有学生1000人，现在的学生已增加到1300人，比原来多多少人？
解：1300－1000＝300（人）
答：比原来多300人。
例4：某机械厂原来每年生产车床5000台，采用新技术后，每年生产的车床增加到原来的130％，现在每年生产车床多少台？
解：5000×130％=6500（台）
答：现在每年生产车床6500台。
从上面的两个例子可以看出，“增加到”是指在原数的基础上加上“增加了”的数所得到的总和，包括原数在内。与“增加到”说法相同的还有“增长到”、“增长为”、“提高到”、“提高为”、“增加为”、“达到”等。当应用题中数量关系不涉及到倍比关系时，“扩大到”与“增加到”也完全是一个意思。
和“增加了”、“增加到”一样，“降低了”、“降低到”等的意思也是不同的。同学们可自己思考一下。
“乘”和“乘以”有区别吗
要回答这个问题，首先要明确乘法的意义。在小学阶段，乘法有两种意义，一种是求几个相同加数和的简便运算。一般规定，相同的加数作被乘数，相同加数的个数作乘数。另一种是把一个数扩大若干倍数，其中这个数作被乘数，扩大的若干倍数作乘数。因此，对初学乘法的人来说，如果不正确区分“被乘数”与“乘数”，那就不能理解“乘”和“乘以”的概念，所以也就不能正确运用乘法的意义来解题。
概念的形成有一定的阶段性。在把数量更进一步抽象化以后，我们也可以不再区分“被乘数和乘数”，而把它们统称为“因数”。
长度单位“米”是怎样确定的
1790年，法国国民议会作出决定，采用巴黎子午线长度的四千万分之一作为长度的基本单位。直到1799年，终于完成了一切测量工作。人们准备了两个完全相等的标准白金模型，规定0℃时两端中间刻线之间的距离为1米。后来，这个米原器就保留在法国度量局内。
可是，这样的米原器有很多缺点：材料会变形，精确度不高，只能达到0.1微米（1微米=1／1000毫米）；一旦毁坏，不易复制。为了弥补米原器的缺点，20世纪以来，各国计量工作者都致力于研究应用自然光波来代替米原器。1960年，国际计量大会通过米的新定义，决定以在规定条件下元素氪的同位素（Kr86）原子在真空中辐射成的光波之长，作为世界统一的公制长度准器。
1983年10月，在法国巴黎举行的第17届国际计量大会上，又正式通过了米的新定义：“米为光在真空中，在1／299792458秒内的时间间隔内运行距离的长度。”
什么是“海里”
海里是海上计量距离的单位。在航海上，原规定地球子午线上纬度1分的长度为1海里。可是，由于地球的实际形状是一个两极略扁的椭球体。因此，在不同纬度处其1分的长度略有差异。作为计量单位随纬度的变化而变化，应用起来很不方便。各国根据自己地理位置和航海活动的需要，各自规定1海里的长度值。在我国，采用1852米为1海里的长度值。
表示几倍的“倍”是不是计量单位
表示几倍的“倍”不是计量单位，它不表示长度、重量及体积等意义，仅仅表示相除两个量之间的一种比较关系。它同其他表示倍数关系的概念如分率、百分数、减数等一样，都属于不名数的范围。
解答应用题的八把开门“钥匙”
小学数学中的应用题，既是重点，又是难点。怎样学好解应用题呢？这里交给你八把“钥匙”。
第一把“钥匙”——顺推法：这是最常用的一种分析思考方法，即从题目的已知条件出发，一步步推算，直到求出要求的结果。这一方法也就是所谓综合法。
例如：光明村共种花生4500亩，平均每亩收花生350千克。如果花生的出油率是35％，那么，这些花生能出油多少千克？
用顺推法本题的思考过程如下图：
列综合算式：350×4500×35%＝551250（千克）
第二把“钥匙”——倒推法：与顺推法相反，倒推法是从应用题的问题出发，一步一步倒着分析推理，寻找解决问题需要知道的条件，直接解决问题。倒推法也就是所谓分析法。
例如：有1075克同样规格的铁钉，取出15只后，剩下的重1030克，问原来这堆铁钉有多少只？
用倒推法思考本题的过程如下图
列综合算式：1075÷〔（1075－1030）÷15〕＝359（只）
第三把“钥匙”——图解法：把题中的条件和问题用图具体形象地表示出来，以便于理解和分析题中的数量关系，寻找解题方法。
例如：宋庄合作商店原有600千克玉米，卖出去480千克，现在又运来3袋，每袋100千克。这个商店现在有多少千克玉米？
列综合算式：（600－480）＋100×3＝420（千克）
第四把“钥匙”——假设法：当应用题数量关系较复杂时，可将题中的某一个条件假设成已知条件，促使题目中隐藏的数量关系变明朗，复杂的条件变单一，再与其他的已知条件配合，使问题顺利得到解决。
例如：其校一、二、三年级共有学生404人，一年级比二年级少6人，二年级比二年级多8人，三个年级各有多少人？
以二年级人数为标准，则（404＋6－8）人，恰好是二年级人数的3倍，则二年级人数为（404＋6－8）÷3＝134（人）。由此可分别求出三年级和一年级的人数。
第五把“钥匙”——对应法；分数、百分数应用题的特点是一个数量对应着一个分式，也就是一个数量相当于单位“1”的几分之几，这种关系叫对应关系。找对应关系的方法，叫对应法。
例如：王明看一本书，第一天看了全书的25％，第二天看了全书的■，还剩下50页没有看。这本书共有多少页？
由题意及下图可以看出，这本书的页数是单位“1”，乘下没有看的50页，相当于全书的（1－25%－■）。那么全书页数则为：
50÷（1－25%－■）＝120（页）
第六把“钥匙”——转化法：把一个数学问题通过数学变换，转化为另一个数学问题来处理。
例如：姐姐和妹妹共有10彩色纸。如果姐姐给妹妹1张，那么，姐姐彩色纸的张数的1/3，就等于妹妹彩色纸的1/2。姐姐和妹妹原来各有多少彩色纸？
本题假如从分数应用题的数量关系上解题，是很难解出的。
由题意可知：姐姐彩色纸张数×■＝妹妹彩色纸张数×■
按照比例的性质，可将上式化为：
姐姐彩色纸张数：妹妹彩色纸张数＝3：2，可用按比例分配法来解本题。请同学们自己解解看。
第七把“钥匙”——列举法：用一定的方法一一列举问题的答案。有顺序列举和分类列举两种。顺序列举可借助列表和画图来进行。分类列举即按照对象的性质，分成不同的几类，对每一类一一列举。要注意，不重复，不遗漏。
例如：有一张道路图如下，每段路上的数，都是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从A出发走到D，最快需要几分钟？
列举从A走四段路到D的路线（多于四段的无须考虑），它们共有六条，所需时间依次为：
A→H→B→G→D，14＋6＋17＋12＝49；
A→H→O→G→D，14＋13＋10＋12＝49
A→H→O→F→D，14＋13＋5＋18＝50；
A→E→O→F→D，15＋11＋5＋18＝49；
A→E→G→F→D，15＋7＋9＋18＝49；
A→E→O→G→D，15＋11＋10＋12＝48。
走哪条路最快？显然是上面最后一条。
第八把“钥匙”——类比法：数学知识是有内在联系的。如果要解问题甲，且问题甲与问题乙很相似，而问题乙是你所熟悉的，那么就可以试用解问题乙的方法来解问题甲。同学们，你们能举出例子来吗？
比较分数大小的六种方法
1.交叉相乘比较分数大小：把分子、分母交叉相乘，然后再比较它们的大小。
例如：比较■和■的大小。
用3×6＝18，4×5＝20，因为18＜20，所以■＜■
2.巧用“■”比较分数大小：把要比较的几个分数先用■比较，然后再比较它们的大小。
例如：比较■、■、■的大小。
因为■＞■，■＜■，■＝■所以■＞■＞■
3.巧用“1”比较分数大小：先用1去减这个接近1的分数，然后得到分子为1的分数，再比较它们的大小。
例如：比较■和■的大小。
1－■＝■，1－■＝■，因为■＞■
所以■＞■。
4.巧用过渡比较分类大小：比较两个分子、分母都不同的分数大小时，可以先选用一个数作为标准数，然后再作判断。
例如：比较■和■的大小。
①选用■作标准（分母是第二个分数的分母，分子是第一个分数的分子）。
因为■＞■，■＞■，所以■＞■。
②选用■作标准。
因为■＞■，■＞■，所以■＞■。
5.同分子比较法。
例如：比较■与■的大小。
因为■＝■，■＝■，而■＞■，所以■＞■。
6.求差比较法。
例如：比较■与■的大小。
因为1－■＝■，1－■＝■，而■＜■，所以■＞■。
什么是黄金分割
如图所示，将长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部的比等于另外一部分对于这部分的比。即X：L＝（L－X）：X，这样的分割称为“黄金分割”，又叫“黄金律”、“中外比”。
解上述比例，可求得X：L＝0.618。
自古希腊开始，人们就认为1：0.618这种比在造型艺术中具有美学价值，如在工艺美术和日常生活用品的长和宽的设计中运用这种比例易引起美感。我国著名数学家华罗庚运用“黄金分割”创造了优选法，对促进我国的现代化建设起了十分重要的作用。
利息与利率有什么关系
在银行储蓄所得到的报酬，叫做利息（简称利），储蓄的金额叫做本金（简称本）。每月利息对本金的比，叫做利率。利率一般按月来计算，通常用千分数表示。例如：月利率三厘六，写作3.6‰，月利率四厘，写作4‰。
利率＝■
例：刘明在银行存款1000元，定期半年（6个月），到期取得利息24.36元，定期存款半年的月利率是多少？
解：■×1000‰＝4.06‰
答：定期存款半年的月利率是4.06‰（四厘零六）。
自行车行驶的奥秘在哪里
中国号称“自行车王国”，同学们对自行车都很熟悉吧。那么，你知道自行车行驶的奥秘吗？
仔细观察一下就可发现，自行车的主动轮（脚踏的齿轮）齿数总数较多，而被动轮（后面被带动的齿轮）的齿数总数较少。主动轮转过一齿，则通过链条传动，被动轮也转过一齿，因此，自行车行驶时，每分钟里两个轮子各自转过的齿数总是相等的。即：
轮子的齿数×轮子每分钟转的圈数＝每分钟转过的齿数（一定）。
根据反比例的定义可以知道，轮子的齿数与轮子每分钟转的圈数这两个量成反比例。
例如，通常28英寸车，其主动轮有48齿，被动轮只有20齿。如果每分钟主动轮转x圈，相应的被动轮转y圈。按照反比例关系：
x×48＝y×20
也就是：x：y＝5：12
由上式可知，如果主动轮转5圈，那么被动轮就要转12圈；如果主动轮转10圈，那么被动轮就要转24圈……
综上所述，轮子的齿数与轮子每分钟转的圈数这两个量成反比例，正是自行车能飞速行驶的奥秘之所在。
火箭发射为什么要倒计时
上世纪初期，德国乌发电影公司决定拍摄第一部描述太空旅行的科学幻想故事片——《月球少女》。该片的导演为了加强影片的戏剧效果，在火箭的发射镜头中设计了倒数计时发射的程序，即3，2，1，发射！这一发射程序引起了火箭发射专家的兴趣，专家们一致认为这种倒数计时发射程序，非常符合火箭试验规律和人们的习惯。它简单明了，清楚准确，突出地表示了火箭发射准备时间正在逐渐减少，使人们思想集中，产生准备时间即将完毕、发射就要开始的紧迫感。正因为如此，倒数计时发射程序被普遍地采用了。
如何迅速判断商是几位数
要防止商中间或末尾丢掉0，前面已说过一点，就是要确定商是几位数。那么怎样迅速判断商是几位数呢？
我们先观察下面一组除数是两位数的算式：
（1）9225÷45＝205
（2）2369÷23＝103
（3）31186÷62＝503
（4）1053÷27＝39
从上面（1）、（2）算式中会发现：当被除数的前两位数大于或等于除数时，商的位数就比被除数的位数少1；从（3）、（4）算式中会发现：当被除数的前两位数比除数小时，商的位数就比被除数的位数少2。这是判断除数是两位数的除法商是几位数的规律。理解和掌握它就能很快判断除数是两位数的除法的商该是几位数了。
再拿除数是三位数的除法来说，如“37050÷247”，因为被除数前三位够商1，所以商的最高位应该在百位上，显然商应该是一个三位数，而不是两位数。其余情况可类推。
45°的角用放大镜
看能不能变成450°，为什么
放大镜的确可以把许多东西放大几倍、十几倍甚至几十倍，但是有一件东西却无论如何也放不大，这个东西就是“角”。我们已经知道角的大小是指角的两条边叉开的程度，放大镜虽然能把画面上的射线和字母都放大，可是却不能把角张开的程度改变，即角两条边的位置总是不变的，所以角的大小并没变。正如我们的桌子或者书本的四角，不管怎么放大，它们的四个角仍旧都是直角。这说明，用放大镜看任何一个角，角的度数是不变的。45°的角，不管用什么样的放大镜看，也变不成450°的角。
有两个直角或两个钝角的三角形吗
