我国不少数学教师在几何入门教学中，要求学生在推理的每一步骤中都说出道理，既加深了学生对数学概念与命题的理解，复习了有关的知识，也可以逐步领悟逻辑推理的真谛。在几何教学的处理上，我国和美国各有优势，美国的几何入门教学比中国早，而中国的论证推理教学比美国早。当前，两国正在相互学习。我国已经把几何教学的部分内容下放到小学，美国在数学教学中也加强了推理论证的训练。我国多年数学教学的实践证明，初中开始几何推理的训练是完全可行的。我国数学教学重视推理论证的传统，应该在新时期得以发扬。对于“审问慎思，言必有据”的教学传统，应该予以新的解释，几何直觉的形成、数学猜想的提出，也应该以丰富的图形经验为基础，以合情推理为依据。
四、勤勉拼搏，学而时习的传统
在数学教学中，既要设计生动活泼的问题吸引学生的兴趣，又要承认学习的艰苦性；既要强调足够的练习，又要注意减轻学生的负担。
1．勤奋拼搏的民族精神
在教学中要培养学生对数学的正确态度。我们与美国同行的看法不完全一样。美国比较看重数学的趣味性，而我们认为也应该让学生感受学数学的艰苦性。学生应该认识到，学习数学并不总是有趣的，他们常常会遇到严峻的挑战，他们应该具有足够的信心和勇气去克服困难。当学生经过拼搏，克服困难之后，就能更加体会数学的美学价值，获取成功的感受。
为了引导学生认真学习，必须重视教师的指导作用。尊师爱生是我国优良的教学传统。我国学校的班级规模较大，更应该重视教师在教学中的领导地位，保持必要的纪律和秩序。如果上课时每个人想干什么就干什么，数学教学就不能有效且有序地进行，学生的学习活动就得不到保证。在观摩教学中注意到，在美国一些学校，许多教师不敢对学生严格要求，疏于对纪律的管理，我们不愿意看到中国出现这种情况。
2.学而时习的求知途径
在数学学习中，要注意做适当的练习。通过演练，打下坚实的学科基础，掌握常用的数学思想方法，灵活运用数学解决有关问题。对于“学而时习”这句古训，应该赋予新的含义。“习”意味着练习，也意味着实践，前者表示适当的演练，后者表示利用数学知识解决实际问题。综观我国近百年来的数学课程标准(教学大纲)可见，我国从来把演练习题看成是数学课程的重要组成部分。例如，1951年《中学数学科课程标准草案》指出了演练习题的意义是“透彻理论，熟练方法，触类旁通，学以致用”；1963年《全日制中学数学教学大纲(草案)》指出如何控制练习的分量，该大纲认为“练得少，就不能达到熟练；但是也不宜盲目多练，给学生增加不必要的负担”；1978年《全日制十年制学校中学数学教学大纲(试行草案)》指出练习与“双基”的关系，叙述了提高练习质量的要领，即由浅入深，逐步提高，组织适当的复习题与综合题。
20世纪90年代以来，我国数学课程对练习有了新的阐释，数学练习应该包括传统常规的问题，也应该有开放性、探索性的问题；有联系实际的问题，也有对数学自身的探索问题。这种趣味性、多样性和挑战性的练习，对学生未来的发展具有重要的意义。专家认为，在强调开展探索性活动，推进研究性学习的时候应该十分重视基础知识的学习，重视基本技能的培养。“双基”是解决问题的基础，也是探索性活动和研究性学习得以顺利进行的一个基本保证。
专家认为，既要保持我国的民族传统，又要与时俱进地给这些传统赋予新的含义，从而促使我国数学教育赶上世界的先进水平。
（第四节 ）数学课程发展的诸因素
课程足教育的产物，它必须受制于教育的发展，并且像教育一样，受到来自社会、政治、经济等方面的影响。数学课程以数学学科为依托，通过数学知识对学生进行教育。它必然地受到数学学科本身发展的影响，并且反映数学在不同时期的思想与成果。
本节研究影响数学课程发展的诸因素。拟从社会发展、数学发展、教育发展、教师职业发展等方面进行论述。
一、社会发展的因素
不同的国家，不同的社会发展阶段，就有不同的数学课程。数学课程不但受到生产发展的推动，也受到社会政治需要的制约。
1．社会生产发展的需要
(1)社会生产发展的需要确定了数学课程的地位，也确定了数学课程内容和重点的取向。
在古埃及、巴比伦和中国当时的生产处于原始状态，只需要作简单的计算与测量，因此，数学作为解决问题的技术而留存给后代。由于对数学的要求不高，因此，数学在古代中国的地位也不高，在古代中国的“六艺”(礼、乐、射、御、书、数)中，“数“处于末尾。又如，在古希腊，由于柏拉图、亚里士多德等思想家为了思辨的需要，给数学赋予一定的逻辑内容，并把数学作为训练思维的工具。到了欧洲中世纪，由于生产力进一步发展，数学的地位进一步提高。在学校的“七艺”(文法、修辞、逻辑、数学、天文、几何、音乐)中，与数学直接相关的科目占了四门。可见数学在欧洲中世纪的学校课程中占有重要的地位。18世纪中叶，第一次技术革命之前，由于社会生产基本上是以自给自足的小农经济为主，对数学的需要极为有限，故学校数学的内容极为简单。第一次技术革命以后，资本主义大工业代替了手工业生产，使得劳动者对数学知识的要求相应提高。变量进入了数学，辩证法也进入了数学。数学不仅成为学校教育的主科，而且内容和要求也大大提高了。
(2)我国力求使数学课程反映社会的需要。
由于社会生产力的发展，社会生产部门在不同程度上需要使用数学，为了使学校数学能够反映社会上各行业对数学的普遍需要，20世纪80年代，我国教育学会数学教学研究会《社需》课题组开始了“我国经济和社会的发展对数学基础知识和技能的需要的调查研究”项目的研究工作，该项目的研究结果表明，当时我国中小学数学的基本内容在国民经济的各领域大部分都是有用的，在今后仍然占有重要地位。随着计算机时代的到来，中小学数学的一些内容需要适当增删和调整。一些传统的内容，如计算表的使用、三角式的恒等变换、纸笔绘画函数图象等，可以适当删减。同时应该增加近现代数学的初步知识，以便适应社会生产的需要。如电子计算机(器)、概率统计、微积分、统筹法、优选法、正交实验设计、向量、矩阵、空间解析几何等，都属于考虑增加之列。当前的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》以及《普通高中数学课程标准(实验)》，正在努力反映社会文化发展和国民经济建设对于数学的新需求。
2．经济与科学技术发展的需要
经济与科学技术的发展使得既有需要，也有可能向社会成员，特别是向下一代提供更多的教育。科学技术从三个方面影响着数学课程的发展。
首先，由于经济与科学技术的发展，对数学的需求迅速提高，人们需要通过数学才能掌握其他的科学技术，学校数学课程应该适应科学技术发展的需要。科学技术的发展影响着数学发展的方向，例如，2002年在北京召开的世界数学家大会上，有关应用数学的专题占了在大会报告的课题的近一半。可见应用数学在数学研究中的地位显著提高。
其次，各门科学的数学化是当前科学技术发展的趋向，一些过去较少使用数学的学科门类如生物学、教育学等，现在大量使用数学。例如，微分方程用于生理学，组合方法用于发生链，概率论用于流行病学，扭结理论用于模拟DNA，数理统计使用于教育测量，等等。科学技术的发展要求中学生学习更多的近现代数学基础知识，从而，中学数学课程的内容应该根据科学发展的要求作出适当的调整。
最后，随着国家经济实力的增强，有条件为数学教学改革提供技术与设备的更大的支持。在我国，党中央提出了科教兴国的伟大战略决策，大力发展教育。全国性的基础教育课程改革正在实施。全日制义务教育各科课程标准已经于2001年公布，高中各科课程标准已于2003年公布。数学是基础教育的主要课程，自然受到极大重视。各级政府在教学环境和硬件建设上，对数学课程改革提供了大力支持。
3.政治的需要
历代统治集团总是按照他们的意愿管理教育，培养后代。因此，社会政治状况也是影响数学课程发展的因素。
(1)社会的政治思潮对数学课程的影响。
社会的政治意识影响着教育，也影响着数学课程。在半封建半殖民地的旧中国，崇洋媚外成为官僚、买办阶层的社会风尚，于是在课程的设置中，照搬西方国家的模式，甚至连课本也是照搬英美的样子。经过新中国几十年的发展，随着国力的加强，民族精神的唤醒，我国数学教育界普遍认为，我国数学课程的发展必须走自己的路。我国数学课程已经摆脱了盲目追随苏俄、欧美的模式，走上了独立发展的途径，逐步显示了自己的风格与特点。
(2)国家的需要对数学课程的影响。
生产的发展，社会的进步，促使各国政治家、教育家逐步认识到国家的发展、社会的进步离不开教育，广大人民群众必须接受高水平的数学教育。所有发达国家都对提高数学与科学的教育水平寄予厚望。历届美国总统对美国学校数学改革都十分重视。多届美国总统的国情咨文都提到要在美国实行第一流的数学教育，难怪美国2000年NCTM《学校数学课程的原则与标准》受到举世重视。我国领导人也十分重视数学教育，当时的国家主席江泽民2002年9月参加了在北京举行的世界数学家大会，他多次到中小学视察，过问数学教学问题。例如，2000年12月，江泽民到澳门视察，就专门视察了濠江中学，兴致勃勃地与师生讨论数学问题，激励师生教好学好数学。
4.社会文化哲学思想的影响
(1)数学是人类文化的重要部分，既受到人类文化传统的影响，同时也对人类文化发展作出贡献。
数学产生于人类的实际需要。随着社会的进步、科学技术的发展，以及数学自身的不断发展，数学在人类社会文化中的地位与作用显得越来越重要。数学课程是文化的产物，也是教育的产物，它应该反映一定时代、一定国家和民族的文化特征。历次的国际数学教育会议提醒各国数学教育工作者，数学澡程的模式应该多样化，应该植根于本国文化的土壤，体现本民族的文化特色。
(2)考试文化对东亚各国产生深刻的影响。
崇尚教育、重视考试是我国以至东亚各国的一种文化传统。我国从隋朝开始实行科举制选拔人才，与今天通过全国高考选拔人才大有一脉相承之势。中、日、韩、新加坡等国都有严格的考试选拔制度。我国经济相对落后，广大欠发达地区的青年，如果有幸赢得考试，可以晋升到较高的社会地位和经济待遇。因此，“考试文化”一直成为我国文化传统的一部分。诚然，我们应该承认，“考试文化”在鼓励青年学生努力学习、奋发向上方面起着一定的积极作用。但是，仅仅以考试作为数学教学或数学学习的动力，会造成诸多偏差，数学教学的内容会完全被限制在升学考试要求的范围内，这就严重地妨碍了对学生探索、创新能力的培养，限制了学生的科学视野，不利于学生的全面发展，从而贻误我们的下一代。1998年在韩国召开的东亚国际数学教育会议上，如何正确对待“考试文化”成为会议的热点问题之一。
(3)哲学思想寄寓在数学课程中，在培养学生的理性思维方面发挥作用。
任何一种教育思想，任何一种课程理念都有其哲学基础。哲学思想的发展对数学课程都曾经产生过重要的影响。
①实用主义哲学：这种哲学对课程的影响就是对课程的界定完全考虑学生未来的职业需要，以这种思想为出发点产生了数学课程论的一个流派——儿童中心课程论，其中心论点是“教育即生活”、“学校即社会”、“儿童是中心”、“从做中学”。从教学上说，这种课程理论主张取消教师的主导地位，从管理上说，就是教师围着学生团团转，取消了教学计划，取消了分科学习，妨碍学生学习全面系统的知识。
②唯心主义先验论：主张数学知识是先天就有的，数学课程的目的就是人的心智训练。根据这种课程观，强调数学的思维训练价值，在教学中看重难题演练，忽视数学的实用价值。以上两种哲学思想对我国数学课程都产生过较大的影响。
③辩证唯物主义：这种课程观认为，在数学教学中，应该注意培养辩证唯物主义数学观。例如，应该注意数学的起源与实践的关系；实践的需要是数学发展的动力，也是检验数学的真理性的标准。在数学教学中应该重视辩证唯物主义认识论的运用。例如，数学知识的呈现要符合学生的认识规律，既要从感性到理性，也要从部分到整体；既要从具体到抽象，又要从特殊到一般。在数学教学中要指导学生逐步形成欣赏数学美的能力。注意揭示数学内容中隐含的辩证法，例如，正与负、直与曲、有限与无限、实与虚、微分与积分、必然与或然、运动与静止等。
二、数学发展的因素
20世纪以来，数学科学飞跃发展，既影响数学课程的内容选取，也影响数学课程实施的方法。
1．纯数学转向研究数学的基本结构
19世纪末，康托尔(G．Cantor，1845-1918年)创立了集合论。经过一段时间的发展，它已经成为数学的基本语言，广泛地应用于数学的各个分支，有了集合论作为共同的基础，纯数学就以研究基本的数学结构为其任务。
(1)代数结构。
一个代数结构是一个集合，在其中定义了某些运算，这些运算满足一定的运算律。在初等数学中，常见的数学结构有数环和数域，其中，整数环就是数环的一种。有理数域、实数域、复数域等，都是数域。中学数学课程用了许多时间阐述这种结构。在代数教学中，特别是在数的运算教学中，要注意讲清算理，突出数学结构思想，设法把各种同构的结构联系起来，对各种结构要用是否同构加以区分。
(2)序结构。
序关系是从实数集合R中任意两个实数都可以比较大小而来的。自然数集、有理数集、实数集都是有序集，复数集是无序集。用来表示自然数大小的数叫基数，用来表示自然数顺序的数叫序数。自然数是一类等价集合的共同特征。在数的概念的教学中，要注意讲清有序性是区分实数集与复数集的主要标志。
(3)拓扑结构。
