行为主义方法有如下优点：有利于对教学目标的分析；有利于简单运算技能的培养；能与计算机辅助教学相结合。但是，行为主义把教学的过程看成为机械的刺激反应的过程．忽视了学习过程是复杂的思维活动，也是人们相互交流的过程，这种刺激—反应的机械方法，对培养创造性的人才是十分不利的。同样，行为主义把教育的创造性劳动等同于简单的机械训练，忽视了教师在教学中的主导作用，也就丢失了数学学习的精髓。
行为主义方法过去曾经而且目前仍然在数学教育、数学教学领域中有较大的影响。例如，一些教师强调整理解题类型，总结解题规律和步骤，搞题海战术，强调重复操练，等等。他们认为这样可以培养熟练的运算技能，他们似乎从我国的古训“熟能生巧”中找到根据。我们认为，在数学教学中，需要有一定程度的基本训练，但是更要强调对算理、算法的理解与应用，重视数学思想方法在思维能力形成中的作用。
二、结构主义方法
结构主义是现代西方教育思想的一个流派，也是处理数学课程的一种方法。这种方法是在遗传认识论的指导下对概念的形成过程进行考察的基础上形成的。
1．结构主义教学观
结构主义教育的主要代表人物是瑞士心理学家皮亚杰和美国教育心理学家布鲁纳。20世纪50年代，皮亚杰首先利用“结构”概念研究“发生认识论”。他认为，人的每一个认识活动，都有一定的认识结构，并以图式、同化、调节、平衡等方式进行。儿童最初的“图式”是遗传性的，以后，“图式”在适应环境的过程中不断变化和丰富起来；在认识的过程中，“同化”是个体把客体纳入主体的图式中，并引起图式的量的变化；“调节”是当主体的图式不能同化客体，量变引起图式的质的变化，调节原有的图式，或创立新的图式；“平衡”是指个体在适应环境的过程中，“同化”与“调节”这两个作用的平衡关系。皮亚杰认为，发展是儿童个人心理结构的成熟与外界环境对其影响这两个因素相互作用的结果。
20世纪60年代，布鲁纳在皮亚杰的认识结构发展论的基础上，提出了知识结构论和学科结构沦，并进而探索美国中学课程改革。他认为，学习任何学科，主要是掌握这门学科的基本结构。所谓学科的基本结构，就是指该学科的基本原理和基本概念。掌握了这种基本结构，既可以使学生更好地理解这门学科，较容易地记忆有关事实，促进学习中的普遍“迁移”，也可以促使教师重视教材的内容范围，重视教材的结构体系，并经常检查各级学校教材的基本特性，以便及时加以改进。
2.结构主义课程观
在新数运动开始时，结构主义心理学家对数学课程的内容感兴趣，当他们发现行为主义方法不能产生富有创造精神的新一代研究人员时，他们开始考虑如何改进数学内容的传递，提高数学课程的实施效率。第一种方法是通过对学科内容的结构分析，寻求内容传递的途径；第二种方法集中研究学生的认知结构，探索概念和思维能力如何获得，如何通过合理的安排，提高学生的学习效率。20世纪60年代，布鲁纳在《学科结构》一书中，对上述两种方法进行了较深入的研究，重点放在学科结构与教学方法的相互依存上，他指出：
①认知结构是已知概念和思维能力的结合。
②由少数简单概念组成的简单结构，通过补充而成为复杂结构。
③认知结构发展到最高阶段就相当于学科结构，它可以看成是学科所包含的全部概念和过程的精华。
④学科结构是十分复杂的，但它同时也是极易表达的．以至能够在低水平的认知条件下传播。传播学科结构的目的，不是让学生获得这些结构的知识，而是展示其过程的特征。这是学科结构与认知结构相互结合的基础。
⑤当学习者的认知结构与学科结构完全一致时，学习者便成为一名科学家。
3．结构主义观点指导下的数学课程设计
为了说明学生的认知结构的发展过程，从而表达结构主义的课程思想，布鲁纳提出了螺旋式课程的概念。
螺旋式课程是安排复杂的学科内容的一种方式。采用这种方式的教学可以在整个学习过程中循序渐进，学生可以逐步深入地接触学科内容，或学习它的不同方面。螺旋式课程有助于学习经验的连贯性，在学生进入小学阶段就向他们传授学科内容的某些方面，并为他们在其后的几年加深学习相同内容的复杂形式作好准备。
螺旋式课程的思想在数学课程中早就已经不自觉地得到体现，例如，数的概念及其运算，总是从简单的情况开始，即自然数、算术数、有理数、实数、复数等。又如，直角坐标系的引入，先研究第一象限中整点的坐标，进而研究第一象限中有理点的坐标，再研究四个象限中整点的坐标，最后引入平面直角坐标系中点的坐标。
布鲁纳用螺旋式课程来说明表达结构主义的课程思想：
①学科结构适合于最优化的学习过程，这一理论的重点是如何把学科结构传递给较低认知水平的学生。当代数学有一些概念，如集合、函数、变换群、同构等，它们虽然复杂，然而，它可以用直观的形式介绍给年幼的儿童，通过反复应用，可以逐步加深理解。
②只是机械地记住某些现成的答案，对学生的发展没有多少好处。要求学生自己去探索的发现法，既有利于学生发现数学中的某些结构，对独立思考习惯的形成，对学生智力的健康发展也有重要的意义。
布鲁纳在1960年《论数学学习》一文中，还提出了结构主义方法在学科教学中的运用问题：
①结构主义教学方法问题。
这里要注意三个问题，即结构问题、序列问题和具体化问题。结构问题，要求学生理解某个概念，教师自己首先要理解它的结构；序列问题，即把某个结构分解为更加简单的基本结构系列；具体化问题，即用具体例子去体现简单的基本结构。
②认知过程的连续性问题。
学生对数学的理解是一个循序渐进的过程，各年级的教师应该根据这种认识来考虑自己的教学。因此，教师应该了解学生原来学习过哪些相关的概念，并且在教授新概念时有意识地联系复习相关的概念。教师还应该放眼于未来，给学生教授一些即使当前学生还不能完全理解的概念，从而为以后的学习作铺垫。
③发现法学习问题。
结构主义数学课程的设计，力求做到学科结构和认知结构的平衡统一。为此，结构主义方法提倡发现法学习。即让学生通过探索，发现知识的结构。数学结构往往具有高度的抽象性，如群、环、域、线性空间等概念，对于中学生来说，是十分抽象的。为了把数学结构教给低年级的学生，课程的编制要体现基本结构的发现过程，设计直观、有趣的而且有意义的教学模式。
4．对结构主义方法的评价
结构主义方法学者，既重视学科结构及其规律，又重视学生的认知结构及其规律，能够在一定程度上令人信服地说明了人们认识的发展过程，这种方法对我国数学教学研究及课程建设产生积极的影响。
然而，结构主义方法的某些论断似乎缺乏根据：是否任何学科结构都可以教给任何年级的学生？学生是否能够正确地认识学科结构？布鲁纳的一些论断似乎缺乏根据，也没有经过实验的论证。事实上，以结构主义方法组编的数学教材，在实践中遇到不少困难。结构主义对评价采取不信任的态度，自认为他们编写的教材具有内在价值，故他们很少接受全面的评价．某些结构主义学者的主观态度在某种程度上又成为课程改革的障碍。
三、形成主义方法
形成主义是从结构主义派生出来的，它以皮亚杰的认知结构理论为基础，着重研究学生认知能力的发展，个性品德和创造能力的形成。皮亚杰认为，在帮助学生形成良好的个性品质方而，数学起着重要的作用。
1.认知发展阶段理论
有关认知能力的研究，是当前国际教学研究的热点问题。认知是与思维、推理、知觉、记忆等心理活动发生相互联系的基本术语。皮亚杰的认知发展阶段理论，是形成主义的理论基础。
皮亚杰认为，一个人，从儿童时期发展到青年时期，其智力要经过四个发展阶段，儿童的每个智力发展阶段都是前一阶段的延伸，儿童的认知能力在每个阶段都进行着改组，阶段之问没有明确的界限，具有一定的潜伏期。智力发展存在着个体差异，不同的儿童进入同一智力阶段的时间是不同的，以下提供的年龄段只是大约的范围。
(1)感知运动阶段(0—2岁)。
婴儿从出生到两岁，主要通过感知与骨骼、肌肉和周围环境发牛联系，我们称此阶段为感知运动阶段。0—9个月前的婴儿，对外界事物的认识，局限于可视的范围内；9个月以后的婴儿，对事物的认识具有持续性。对于事物的运动，逐步形成独立的位移组结构，如直接位移、逆转位移、零位移、联合位移等。
(2)前运算阶段(2—7岁)。
自幼儿时期到小学1—2年级，此时期儿童认知的主要特征是：注意中心化，只把目光集中在一个情景或一个方面，我们称之为一维的思维方式；具有自我中心主义，未能进行可逆思维。例如，当儿童见到一个外国人，他虽然意识到这是一个外国人，可是他尚未意识到他自己在外国人的眼里也是一个外国人。这个阶段的儿童，已经形成了拓扑意义上的空间观念，就是说，该阶段的儿童尚未建立角度、长度、距离等确切的度量观念，但有可能理解顺序、包封、分离和接近等概念。
(3)具体运算阶段(7—12岁)。
儿童从7—8岁进入具体运算阶段，这是随幼儿时期的终结而日趋成熟的。前运算阶段的儿童，动作的内化是直观的，仍然受知觉的支配，他们的思维是有局限的，不能同时协调二维空间以上的结构，这个阶段的儿童认知的主要特征是：
①形成了守恒观念，包括物体守恒、重量守恒、体积守恒等。
②运算观念逐步发展，包括形成了对应、顺序、分类等意识。
③运算结构的观念逐步形成，包括组合、结合、同一、逆向等结构观念。
总的说来，这个阶段的儿童，其对运算结构的认识需要借助于具体对象进行操作，形式尚未与具体内容分开。
(4)形式运算阶段(12—15岁)。
从十一二岁开始，儿童先后进入形式运算阶段，进入这个阶段的儿童，其思维与具体运算阶段的儿童有显著的差别。具体运算阶段的儿童能进行一定的逻辑运算，但离不开具体事物。但是，12岁以后，他们逐步形成了如下认知的主要特征：
①逐步从具体事物思维向假设思维发展。
②逐步形成自发地推导某种法则的能力。
③从单向思维逐步发展到多向思维。
总的说来，青少年时期，学生的智力发展尚未完全成熟，有待于在教学过程中继续培养，数学教师在学生智力发展中，担负着重要的使命。
2．形成主义数学课程设计
皮亚杰以认知心理学为基础，研究儿童数学概念的形成，他发现，在儿童学习的初期，数学概念要借助于具体事物的操作才能产生，他认为，要给儿童提供机会，让他们得以操作实际对象。
(1)教学理论。
皮亚杰研究儿童的智力成长在有关时问、空问、剀果关系等一般概念的思维发展上，活动所起的作用。他认为给学生的教材只是作为熟悉情况的参考材料，主要的认知活动要靠课堂教学活动才能展开。除了教材，还要给教师提供教学参考材料，包括有关信息、实例和说明材料。
学生的数学能力结构虽然具有逻辑数学特征，却不是有意识的结构。我国数学教学大纲提出要培养学生的逻辑思维能力，而学生并不天生就具备此种能力。数学教学要求学生对数学结构做出有意义的反映，包括使用符号、语言，在一定的抽象水平上认识数学结构，这就是教学要求与学生的认识能力的矛盾。由于矛盾的存在，有意识地培养学生的数学能力就更有现实意义。事实上，学生的数学能力就是对数学语言的理解机能，或者数学抽象化过程的速度。
(2)教学方法要领。
教师应该指导学生形成自己的观念。换言之，教师通过设计适当的活动环境，引导学生自己发现数学对象的关系和性质。首先要感知具体的数学经验，然后逐步发展成演绎结构，在此基础上再学习演绎推理，这样符合由感性到理性的认识规律。图式、同化、调节、平衡的认知结构发展过程不是自动完成的，不能够通过简单的操作就能够自动实现。教师的恰当引导，对学生智力的发展也有重要意义。在介绍形式化的结论之前，首先要让学生获得操作的体验和思想，就是说，要提供机会，让学生先实践，再在此基础上获得认识。
