伽罗华发现，每个代数方程必有反映其特征的置换群存在，利用群的性质，他解决了多年来未能解决的、高次代数方程用根式求解的可能性的判断问题，从而创立了“伽罗华理论”，为群论的建立、发展和应用奠定了基础，从而也是近世代数的先河。伽罗华的数学研究，是在法国大革命的政治动荡时代、学习与研究上遭受打击、利用十分有限的时间完成的。他的数学思想大大超越了他所在的时代。伽罗华的著作，长期无人重视，他的几篇论文在送给当时几位著名的数学家审阅时，有的被丢失，有的下落不明，有的被打入冷宫。然而，伽罗华对自己的数学研究有坚定的信念，在决斗前，他还在积极整理个人的数学手稿，并相信这些手稿对后人有用。果然，到了1846年，他去世后的14年，法国数学家刘维尔发表了他的遗作，并把他的数学遗稿进行汇集，加以出版。在此以后，他工作的意义才逐渐为人们所熟悉。
以上几位在世界上有重大影响的数学家及其工作，他们分别在解析几何、数学分析和近世代数等领域作出了开创性的贡献。他们以及其他数学家的成就，推动了世界数学的发展，也成为近代数学课程发展的伟大动力。
数学发展如此迅速，成果如此丰富，而中小学数学的教学内容却停滞不前，有关改革中小学数学课程的要求就由此而产生了。
2.教育思想活跃，新的课程观出现
17世纪中期，英国爆发了资产阶级民主革命。1789年，法国爆发了大革命。1776年，美国宣布独立。随着资本主义生产力的发展，社会上对科学技术的要求提高了，对劳动者的科学素质与文化水平的要求也提高了，围绕着对未来人才需要的讨论，在教育上也产生了各种各样的理论流派，它们对数学课程的发展产生了不同程度的影响。
(1)夸美纽斯的教育思想。
夸美纽斯(J.A．comennius，1592—1670年)生于捷克尼夫尼兹，是伟大的资产阶级民主教育家，17世纪捷克著名的爱国主义者。他继承了古希腊与罗马的教育思想，吸收了文艺复兴时期人文主义教育的成果，系统地总结了资产阶级对学校教育的要求，撰写了《大教育论》、《泛智学校》等重要著作，奠定了近代资产阶级教育理论的基础。夸美纽斯的贡献主要有：
①提倡泛智教育，这是他一生教育思想和教育活动的核心。所谓泛智教育，就是使所有的人，通过受教育，获得广泛、全面的知识，每个受教育者的智慧都得到普遍的发展。
②阐述了“泛智”的含义，就是指自然科学、社会科学的百科全书式的知识，学校要让学生学习这些知识，以便培养“全知”、“全能”的智慧接班人。他主张教育要适应自然，提出普及初等教育的主张。
③亲自进行初等学校的教学实践，主张除了读、写、算和宗教以外，还要学习几何、历史、天文等学科。
④在教学上，提出了直观性、巩固性、启发自觉、循序渐进等原则。
他提出了近代初等学校数学教学大纲，分为七个层次：
第一级：数的写法与读法，点及直线的简单定理；
第二级：加法、减法，平面图形；
第三级：乘法、除法，立体物的观察；
第四级：三数法，三角法；
第五级：合股算法，混合算法，假定法，长度，面积，体积：
第六级：用简便法进行全面复习，几何学应用在土木建筑上：
第七级：圣经上出现的神圣的数字及神秘的数字，教堂的建筑，宗教的历法。
夸美纽斯的教育思想，对当今数学为大众的课程观的形成产生了重要的影响。他在上述教学大纲中，提出把算术与几何并列混编，在当时是非常独特的见解。
(2)卢梭的教育思想。
卢梭(Rousseau，1712-1778年)是法国资产阶级启蒙思想家和教育家。他的教育和社会理论大都基于一种信念，即人天生是善良的，但由于社会的腐败而变得乖戾。在他的两本著作《新爱洛奇斯》(1762年)和《爱弥尔》中，建议了一种“使儿童不会变坏”的教育形式。他提出的教育主张是：
①教师利用儿童天然的学习愿望，把他作为一个儿童而不是作为一个成人的雏形来对待。他主张允许儿童通过来自环境，而不是来自教科书的意识进行学习。
②按照不同的年龄特点对儿童进行教育。
③注重劳动教育，主张学生在学习中要手、脑并用。
④在教学中，应该尊重儿童的个性，研究儿童的兴趣，发展儿童的独立精神，最大限度地利用直观性原则，让儿童了解一切事物。卢梭的上述教学观点，成为儿童中心课程理论的重要根据。
⑤卢梭对于几何学习，提出了很好的见解：“先画出正确的图形，把图形结合在一起，用重合的方法研究图形间的关系。这样做不仅仅是研究图形的重合，而是不需要定义，不需要任何证明的形式，仅仅通过观察，就发现了初等几何的全部内容。”上述几何学习观，对当前几何入门的教学和对实验几何课程的设计，都有良好的参考价值。
(3)裴斯泰洛齐的教育思想。
裴斯泰洛齐(J．H．Pestalozzi，1746-1827年)是瑞士著名的教育家和人道主义者。他受到卢梭的影响，他的教育思想又影响了赫尔巴特。他认为，教育必须关注个人智力与气质的发展．必须基于对儿童实际情况的了解，学校生活应该类似于家庭生活。他的教育主张是：
①教育的目的。教育应该发展人的一切天赋和能力，这种能力必须是全面的，包括体、劳、德、美、智等五个方面，这些方面相互作用，才能保证人的协调发展。
②学习顺序。必须从具体经验开始，然后学习词语知识。先学习简单熟悉的事物，然后学习复杂生疏的概念；这些观点为初等学校各科的教学法打下坚实的基础。
③重视数学教育。他认为算术是基础教育中最重要的科目之一，“数学的精神与真理的概念是分不开的”。他把直观性原则、循序渐进原则和一般教学原理结合起来，创立了小学数学教学法的基础。
④数学教学法。数、形和词是数学教学的基本对象，在算术教学中，要通过计算来掌握数字，首先重点弄清个位数的运算及其相互关系，进而学习十位数、百位数，从而促进心智发展，提高运算能力。学生的运算能力，是清晰的、正确的感觉印象的结果；几何图形的教学，应该以实物印象为基础，应该重视基本丽图的训练和能力的培养。
(4)赫尔巴特的教育思想。
赫尔巴特(Herbart，1776—1841年)是德国教育家和心理学家，他在担任哥尼斯堡教育讲座的同时，创办了世界上第一个教育科学研究所。他建立了以心理学、伦理学为基础的教育学体系，毕生为把教育学真正成为一门科学而奋斗。他的教育主张是：
①唯心主义的认识观。他认为，教育的首要科学是心理学，教育的理论基础也是心理学。他主张心理学应该以形而上学为基础，以数学为方法，以经验为内容。他认为，观念是人的心理活动的最基本的素材，一切心理现象都是由各种观念相互作用而产生。任何新观念或新经验的取得，都是对旧观念予以同化或吸收的结果。
②教育学体系。他所主张的教育学体系包括管理、教学与训练三个部分。他主张把训练和形成学生的道德性格看作教育的最高目的，把儿童管理看作实施教育的必要条件。
