长期以来，数学一直以数值计算为其最主要的任务，大量数学研究的目的无非是建立算法并不断加以改进，使之算得准、算得快、算得容易、方便，得出令人满意的结果。20世纪计算机的出现，根本改变了计算数学这一分支，对数学及其他科学也产生革命性的影响。1947年冯·诺伊曼等人发表的“高阶矩阵的数值求逆”标志着数值分析这门学科的诞生。其目的不仅要建立优秀的算法，特别是适用于计算机的程序，而且要对算法进行比较和分析，特别是对误差分析稳定性收敛速度以及计算量、存贮量等要进行细致的研究，其后产生一系列的有效方法，如乌拉姆等创造的蒙特卡罗法以及有限元法、稀疏矩阵、样条函数法、快速傅里叶变换等一系列行之有效的方法。各种数值代数、数值积分以及解各种方程的方法也有许多改进及研究。针对具体问题也产生了计算力学、计算流体力学、计算物理学、计算化学等等新兴分支，成为与实验互补的科研手段。20世纪60年代初在基础研究方面还产生了计算复杂性理论，提出一系列基本的与计算有关的理论问题。
数学物理学的问题大都化成微分方程，对于这些方程的分析方法及数值方法的发展简述如下：
1.常微分方程
从天体力学的三体问题到各种非线性自由振动及受迫振动问题，许多实际问题都转化为解常微分方程的问题。一般来讲，常微分方程，特别是非线性常微分方程，找不到精确的解析解，甚至在有解析解时，也不能由常用的函数表出，因此，从19世纪晚期，人们就致力于寻找好的求近似解析解的方法，而第二次世界大战以后，更促进各种数值方法的改进及发展。
最早的近似方法是庞加莱所发展起来的摄动方法，现在已成为数学的一分支——摄动理论。最早它是瑞典天文学家林德斯泰特在1883年为解天体力学一个复杂问题提出来的。为了避免长期项的出现，庞加莱在1892年对于方程X+X=μf(x，x)严格证明存在定理，从而使该方法合法化。而对于非线性振动中常见的方程X+aX=μf(x，x，ωt)(其中f是t的周期函数，ω是小参数)，则由弗瑞德利克斯等人及斯托克于1950年所解决。同时前苏联克雷洛夫及博戈留波夫在1943年发展了范德波于1926年首创的方法，发展了一套平均法，后来在研究非线性振动时常用。另外一种所谓调和均衡法首先由达芬在1918年提出，应用也很广泛。从20世纪20年代起，问题更集中于奇异摄动问题(如小参数ε出现于高阶导数项和大参数问题)。最早是杰夫瑞斯从1924年起发表四篇论文研究马丢方程解法，其后温采尔、克拉默斯、布理鲁因独立发展成解薛定谔方程的W——K——B方法。另外还有兰格在1931年提出并由奥立佛发展起的LO方法，对于空气动力学许多问题中产生的强奇异性，1949年由莱特希尔引进自变量的非线性变换，使得庞加莱正则摄动方法也能产生有效渐近解，这方法于1953年由郭永怀发展后被命名为PLK方法1955年华沙把这个经验方法加以系统化。
解常微分方程的数值方法还有不少，应用最广泛的是差分方法。最早可追溯到18世纪，其后有相当大的改进。
2．偏微分方程
偏微分方程是由物理学、几何学、函数论等提出来要求求解的问题，从18世纪中叶起，二百多年来对于各种类型的方程进行大量的研究，只有到第二次世界大战之后，才有比较系统的研究。但应用问题，特别是非线性问题，仍然是具体问题具体分析，缺乏统一的方法，许多问题发展了有效的数值解法。
19世纪以来，研究最多的有波动方程、热传导方程及位势方程，对于弹性力学方程及麦克斯韦方程组也有许多进展，而流体力学方程，特别是有黏性的不可压缩流体纳维尔——斯托克斯方程则有许多困难。进入20世纪以后，一系列新的方程出现了：如边界层方程、薛定谔方程、反应扩散方程等等。
求解偏微分方程的过程推动了分析的发展：如傅里叶分析及各种积分变换、复变函数论、变分法、正交函数论、渐近展开、位势理论等等。
在求解偏微分方程的近似方法及数值方法当中，较常用的有变分方法、有限差分方法及有限元方法等。变分方法来源于黎曼为解决狄利克雷问题所提出的狄利克雷原理，该原理虽遭魏尔斯特拉斯的批判，但在1900年被希尔伯特恢复其合法性。他的做法是直接求出泛函极值的最小系列，从而解对应的边值问题。希尔伯特的学生黎兹在1908年应用希尔伯特的思想提出黎兹方法，他首先把解展成完备独立系(φ1，…，φn)小序列来逼近解。对于本征值问题Au＝λu，可以用瑞利商为泛函来通过黎兹方法解决。前苏联数学家伽辽金改变决定系数的方法，可用于更为一般的问题，包括初值问题，这类方法统称黎兹——伽辽金方法。最常用的数值方法是有限差分方法，其历史可追溯到欧拉，它以差商代微商，将微分方程化为差分方程。它适用于各种类型方程。关键问题是收敛性及稳定性问题。1928年，库朗、弗瑞德里克斯及卢伊证明三大典型方程的典型差分格式的收敛性定理，为该方法的应用打下基础，第二次世界大战之后，由于计算机的运用，差分方法作为有效的数值方法得到有效的发展。1948年冯·诺伊曼对于无黏性流体的非线性双曲型方程，为避开激波引出的间断性，引进人工黏性项，为此设计差分方法是现代流体力学数值计算主要方法。在论文中他引进稳定性这个十分重要的概念，并给出稳定性的必要条件。1956年拉克斯及里希特迈尔建立了一般差分格式的收敛性及稳定性等价的定理，它对实际计算中误差积累问题有着重要意义。
在战后的数值方法中，有限元方法是另一个最常用的方法。它可以看成是变分方法及差分方法有机的结合，其思想可追溯到库朗1943年的论文。1956年起一些工程人员在处理结构工程问题时又独立发现，20世纪60年代开始引进连续体的单元剖分，逐步明确有限元法是变分原理加剖分逼近的思想并建立数值分析的理论基础。
三、统计数学
高尔顿在1889年出版的《自然遗传》一书中，首次提出“相关的概念以及其定量表征——相关系数。大约同时，他在一系列观察及测定的基础上，提出了“回归”的概念，他观察到父代与子代的性状虽然有一定的相关性，但连续观察下去，则特征逐步减退，而“回归”到平均值上，从而开创了回归分析。
英国科学家卡尔·皮尔逊是高尔顿的学生，从1894年到1916年发表一系列有关进化论的数学研究，其间发展了相关及回归理论，成功建立了生物统计学，他区别“总体”与“样本”，1898年提出多重相关理论，指出由样本估计总体参数时要采用似然函数。1900年提出拟合优度检验，为此引进χ2分布(在此之前，德国物理学家阿贝在1863年发表的论文中及德国测地学家海尔穆特在1875年都曾独立地发现χ2分布)。这奠定了大样本理论的基础。数理统计学至此时处于描述统计学阶段，其后则是费舍尔之后的推断统计学阶段。
推断统计学的先驱是英国医生哥塞特，在1908年发现了大分布，开创了小样本理论，也即根据小样本来进行推断，这使得统计学由研究集体现象转变为随机现象，对于其后的统计学的发展有决定性的意义。但他们推导极不完整，一直到费舍尔加以严格证明并在1925年《研究人员用统计方法》一书中加以系统阐述之后，这种统计方法才得到广泛的传播。
费舍尔把统计学变成为数学的一个分支，他强调统计方法的统一性，对近代数理统计的形式及发展做出巨大的贡献。他提出许多重要的方法，建立了一些分支。他引进解消假设和显著性检验的概念，成为假设检验理论的先驱。他列举一致性、有效性及充分性作为参数的估计量应有的性质。他还提出“信息量”的概念。从1912年起，建立了以最大似然估计为中心的点估计理论。
1925年费舍尔与叶茨合作创立实验设计这一分支，提出区组平方设计与拉丁方。他的工作总结在1925年出版的《实验设计》一书中，他还在1923年发展了与实验设计相适应的方差分析法。费舍尔另一项重要贡献是引进“可信分布”的概念，对于一些困难的问题如贝伦斯——费舍尔问题，提供简单解法。不过，费舍尔的思想方法偏于直观，数学方法也欠严格，这有待于奈曼等人的工作加以发展。
原籍波兰的美国数学家奈曼在1925年9月到达伦敦，结识了英国统计学界的人物，与卡尔·皮尔逊的儿子小皮尔逊建立起终生友谊。他们合作的头一篇在1928年6月发表的论文中就提出“备择假设”的概念，指出存在两类错误，他们把假设H真确时而拒绝H所犯的错误称为第一类错误、把备择假设A真确时而接受H所犯的错误称为第二类错误，从而开始使统计推断理论建立在新的数学基础上。他们引进检验功效函数的概念，以此作为判断检验方法优劣的标准。奈曼还在1924年到1937年间建立置信区间概念，它建立在概率的频率解释之上，奠定了区间估计理论的数学基础。
原籍罗马尼亚的美国数学家瓦尔德1939年发展了统计判决函数理论，在这个理论中，把推断程序全体作为一个整体来考虑，被命名为判决函数空间。它定义了其上的风险函数，作为推断程序好坏的准则。他与费舍尔及奈曼不同的是把先验概率也考虑进去，对第二次世界大战以后的统计数学影响极大。他的结果收入1950年出版的《统计决策函数》一书中。他把估计理论及假设检验理论相结合，形成“决策理论”这一新的应用数学分支。1943年起瓦尔德还发展了序贯分析，1947年他的《序贯分析》的发表标志这一新分支的诞生。
1946年瑞典统计学家克拉美的《统计学的数学方法》把统计数学建立在现代测度论的严密基础上，标志着作为数学的重要分支——数理统计学最终形成自己的科学体系。
四、运筹数学
运筹学的产生是第二次世界大战前后的事。1933年希特勒在德国掌权，英国就开始进行适当的准备来防御可能发生的空袭。结果在1937年末研制出雷达和飓风式战斗机。但是1938年7月进行的空战演习中，雷达和战斗机临时凑合，不能形成一个有效的空防体系。因此，当时英国在海岸的雷达研制工作的领导人罗维建议进行关于雷达战斗机系统的运用方面的研究工作，他还创造出“运用的研究”一即运筹学这个词来称呼这种研究工作，这可以说运筹学正式诞生。他和威廉斯发展了发现和预防空袭的方法，并且在布莱开特直接领导下，成立了运筹小组。由于从事战时工作的科学家在战后大力倡导，而使运筹学的理论和应用在战后得到了蓬勃的发展，并由军用扩大到民用许多领域，产生许多分支学科。主要学科是数学规划(包含线性规划、非线性规划、整数规划、组合最优化乃至动态规划等)、对策论、排队论、库存论、搜索论、决策分析等。
规划问题从数学上讲是具有约束的最优化问题。如线性规划是考虑在线性等式及不等式组的条件下求线性目标函数的极值问题。它在经济上的应用，来源于冯·诺伊曼1928年证明的对策论基本定理——极大极小定理。后来列昂节夫关于投入产出分析在1941年提出的模型及1944年冯·诺伊曼及摩根施坦在他们的名著《对策论及经济行为》中更提出竞争模型。库普曼斯在1951年出版《生产与配置的活动分析》中独立地对线性规划的创建及发展作出贡献，并因此获1975年诺贝尔经济学奖。其中把线性规划问题化为数学上凸集或凸体的理论，其中线性不等式及凸体的对偶性起着关键的作用。这方面的理论可追溯到蒙日及傅里叶关于n维欧氏空间内凸锥、凸多面体理论，匈牙利数学家法卡斯给出特殊线性规划问题有解的充分必要条件，1956年塔克尔给出一般解的存在条件。这些理论在数学上已成为独立的学科，并由欧氏空间推广到函数空间及一般的拓扑线性空间。对于应用问题，更重要的是实用的计算方法：在这方面前苏联的数学家康托洛维奇在1939年已做了先驱性工作，著有《生产组织与计划工作中的数学方法》，并因此获1976年诺贝尔经济学奖，由于当时环境，长期未受到注意。现代实用的方法主要是丹齐格在1947年提出的单形法，其后有一系列变形及改进，这种方法可以编成程序在计算机上运用，1977年前苏联的哈奇洋、1983年印度的卡马卡作出许多改进。
1957年美国数学家贝尔曼提出另一种最优化技术——动态规划。它把问题分为一串子问题，它与变分法及邦德里亚金极大原理有关，更适于用微分方程来表述，却应用于离散的组合问题。它在运筹学及控制理论中都有着广泛的应用。
(四)中国现代数学的发展
中国传统数学在宋元时期达到高峰，以后渐走下坡路。20世纪重登世界数学舞台的中国现代数学，主要是在西方数学影响下进行的。
西方数学比较完整地传入中国，当以徐光启和利玛窦翻译出版《几何原本》前六卷为肇始，时在1607年。清朝初年的康熙帝玄烨，曾相当重视数学，邀请西方传教士进宫讲解几何学、测量术和历法，但只是昙花一现。鸦片战争之后，中国门户洞开，再次大规模吸收西方数学，其主要代表人物是李善兰。他熟悉中国古代算学，又善于汲取西方数学的思想。1859年，李善兰和英国教士伟烈亚力合译美国数学家鲁米斯所著的《代微积拾级》，使微积分学思想首次在中国传播，并影响日本。李善兰在组合数学方面很有成就。著称于世的有李善兰恒等式：
∑kj=0n+2k-j2k=n+kk
