（2）库存持有成本h对于订货方式的影响
固定订货成本、每种商品的特殊订货成本、单位订、货量的平均支付价格以及顾客的需求量，研究库存持有成本的变动对于订货方式的影响。
3.对多种产品联合订货方式的改进
多种商品联购的优点是易于操作，但是在选购的组合上没有足够的选择性。经过上面的讨论，我们得到在某些情况下，多种产品联合订货不一定比分别订货更具有规模经济效用。因此，需要寻找能够使总成本降低的订货方式。
3.1.SiIver的方法
该方法不同于上面的方法，它从单个商品的订购周期入手，对商品和各个商品的订货周期进行重新的排序，找到各个商品订货时间的相关关系，以确定具体的每一种商品的订货周期，从而确定每一种商品的订货次数，最后确定其年订货总成本。
3.2.经过挑选的部分产品联合订货
在多种产品联合订货与分别订货的对比分析过程中，得到结论并不是在任何情况下多种产品联合订货要比分别订货更加具有规模经济效用。那么，本方法通过改变每种商品的订货频数，使其并不是在每一次订货中均参与订货的方式来解决上述矛盾，从而达到降低年总成本，达到规模经济效用的目的。首先该方法找出订货频率最为频繁的商品，然后确定出其他商品的和最频繁订购的商品一齐订货的频率，其他商品可以根据自己的需求有选择性的和该商品一起订货。确定了每种商品的订货频率之后，需要重新计算最频繁订购商品的订货次数，进而确定其他商品的订货次数。这里，也许本文讨论的并不是最优的方案，但是，由此所确定的订购策略所花费的成本已经接近最优。
4.结束语
本文讨论了在库存容量不受限制的情况下的订货方式，主要通过周转库存的方法实现规模经济效用。在分别订货和多种产品联合订货的对比中，得出并非多种产品联合订货一定会比分别订货更加具有经济效用，根据所给变量的数量关系的不同，所选取的订货方式也是不尽相同的。另外，本文对多种产品联合订货的订货方式进行了扩展，主要有SiIver的方法以及经过挑选的产品联合订货的方法。
通过数据对比发现，这两种方法比较多种产品联合订货都具有其优越性。从供应链角度来看，集聚产生了明显作用，它大大节约了成本，降低了供应链的循环库存水平，与每种产品单独订购相比，每次订购都把全部产品简单集中订购会更好。然而，经过挑选的部分产品联合订货即量身定做的集中订货策略将提供一个更低的成本，因为它利用低容量和高容量产品的差别，相应地调整他们的订购频率，当特殊产品成本在固定成本S中占有较大比重时，量身定做的集中订货策略的聚集效益会增加。
参考文献
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徐鑫.对多种产品联合订购问题的研究[J].安徽理工大学学报，2004，24（4）：65-67
An Analytical study of Multi-Item Joint Replenishment Problem
YANG Qian
（Beijing University OfAeronautics and Economic Management College，
Beijing，100191）
Abstract：In the supply chain management，as a manager，you must consider the question on how to set up the quantity of products，not only can reduce the total inventory，but also minimize the total cost of the order.In the process of vendor orders，there will be a fixed ordering cost and the inventory holding costs，then how to comprehensively consider the relationship between the two costs，in order to realizae of economies of scale effect is discussed in the article.In this paper，in the condition of unlimited storage capacity and fixed customer demand，by comparing specific examples of a variety of ways of ordering costs，we can find the optimal ordering method for the majority of vendors which can provide a basis for ordering the program.
Keywords：economic order quantity；Independent replenishment；joint replenishment
考虑数量折扣的乳制品联合采购计划模型
范昌勇、钟金宏
（合肥工业大学管理学院，安徽合肥230009）
摘要：研究了多断点总量折扣模式下的多产品联合采购经济批量问题，考虑了乳制品对存储要求的特殊性。设计了GA求解算法，采用罚函数和后向平移过程处理问题约束。最后结合某乳制品企业的实际数据，验证了算法的有效性。
关键字：乳制品；采购计划；数量折扣；遗传算法
中图分类号：N945.12.文献标识码：A
0.引言
随着人们生活水平的改善，乳制品的消费量也稳步上升。但由于乳制品产量随季节存在很难规避的波动，且其自身易变质的特性，以及基于市场销售、规模效益的考虑，制造商（或供应商）会有选择性的给予采购商一定的数量折扣等优惠来刺激采购及需求，以加速自身的库存周转、降低运营费用等。而基于分摊采购启动成本等的考虑，企业往往联合采购多种产品。那么如何制定合适的采购计划，在保证销售的前提下充分享受优惠以获取最大的经济效益则事关采购企业的利益。
考虑数量折扣的采购问题研究可分为两类：经济订货数量（EOQ）模型和经济批量（ELS）模型，前者的研究更多。自Wagner和Whitin首先研究动态需求下的ELS模型以来，围绕该主题人们从各个方面已开展了大量研究。考虑数量折扣的ELS模型研究主要集中在单产品上。Federgruen、Lee和Xu、Lu分别研究了总量和增量折扣模式下的单产品单断点的ELS问题，设计了复杂度分别为O（T3）和O（T2）的动态规划算法。且Xu和Lu是在Federgruen和Lee研究基础上提出的更符合实际问题的算法；Chung-Yee Lee研究了运输成本为分段函数且有最小采购量约束的ELS问题，同时在问题中考虑了瞬时交货，并针对单一运输模式给出多项式时间复杂度的优化算法；徐健腾等研究了不允许缺货时单产品多断点总量折扣ELS问题，并通过分析最优解性质开发了复杂性为O（T3+mT2）的动态规划算法；王圣东等研究了总量折扣下单供货商-多销售商的联合采购计划问题，设计了动态规划算法综合优化供货商最优生产策略和各个销售商最优订购策略。考虑数量折扣的多产品联合采购研究则较少，Nafee Rizk等研究动态需求情况下，共享资源受限且成本函数为分段线性的多产品联合采购ELS问题，建立混合整数规划模型并通过拉格朗日松弛方法将原问题转换成简单的子问题再给予求解。Gerard J.Burke，Janice Carrillo，Asoo J.Vakharia 研究采购商如何在使用不同定价模式且有能力约束的多个供应商之间分配采购量，并给出启发式算法及数据验证了各模式的适用性。
1.问题模型
乳制品经销商根据订单、市场预测，获知客户对各种乳制品的需求，再考虑自身未来的经营目标确定向乳制品制造商的订货。这里仅考虑单一制造商情况。制造商（或供应商）出于规模效益考虑通常会提供采购折扣，这里考虑供应商根据采购总数量进行打折，不区分具体产品，这在实际很常见，特别是对产品价值相当的产品。乳制品的运输和存储都需要特殊考虑，经销商这方面的资源是有限的。在有限存储资源下，如何充分利用上游供应商提供的折扣，实现企业采购成本的最小化是这里所要研究的问题。
此外，从实际情况考虑，模型有以下假设：（1）为鼓励客户多采购，通常单次采购量越大折扣率越高，而其采购调整费用则越少，即rj≤ rj+1，Sj ≥ Sj+1，j= 1，…，m-1；（2）为避免不符合实际情况——大批量采购的总费用低于小批量采购的总费用，假定Sj+1+（1-rj+1）（Nj+1 ×Min（Pit））≥Sj +（1-rj）（Nj·Max（Pit）），j= 1，…，m-1，其中Min（Pit）和Max（Pit）分别表示第t期各种产品的最低价格和最高价格。
目标函数使整个规划期内总的采购和库存成本最小，约束（1）是物料平衡方程，表示前一期末的产品库存量和本期的采购量应满足本期产品的外部需求和本期库存量；（2）式表示第t期内的库存总量应不超过库存空间上限；（3）式表示每周期期末库存量非负；（4）式表示每周期各种产品采购量非负；（5）式表示规划期的开始和结束库存为零。
2.算法描述
遗传算法是基于自然选择和遗传机制的随机搜索技术和优化算法，能有效地搜索巨大复杂的空间，有很好的自适应和自学习能力，在经济批量问题研究上也已有不少成功应用。
2.1.约束处理
遗传算法本质上只能解决无约束优化问题，问题（P）是约束优化问题，故需处理其中的约束（2）和（3）。
其中Cmax和Cmin表示当前跌代中最大和最小的目标函数值，L1和L2为两个较大的数，fabs（x）表示对x求绝对值。
GA群体中的个体对应问题解，是由随机初始化和交叉变异生成，不能保证约束（5）中的IiT =0始终成立。由（7）式可惩罚IiT <；0情况。对IiT >；0情况，我们设计了一个平移过程来解决，平移过程的思想为：从周期T到周期1，在保证可行的条件下，将IiT依次移至前面的生产周期。
2.2.算法流程
设计的GA算法采用二进制编码，染色体由xit组成，按周期和产品自左向右排列。令k为迭代计数器，遗传算法计算步骤如下：
step1：算法初始化。
step2：生成初始群体。
step3：检查个体是否满足约束（5），对不满足个体由平移过程调整。
step4：检查个体是否满足约束（2）、（3），对不满足的个体依据（8）式计算惩罚量。
step5：评价个体。由式（7）计算个体适应度值，输出相关数据。
step6：判断是否符合终止条件，若符合，结束计算，否则转step7，并使k=k+1。
step7：生成新一代群体，转step3。
3.计算实例
该部分验证算法有效性。试验数据来自一个实际的乳制品企业。
供应商折扣是经常变动的。试验中，假定供应商提供4个采购折扣区间，并根据假设条件（1）和（2），分别设置数量折扣率、端点值以及采购启动成本参数。试验中，种群大小为50，算法迭代次数为800次，交叉概率和变异概率分别为0.8和0.01。
