这个猜想已经被佩雷尔曼解决，也是唯一个被解决的猜想。
在1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学的猜想：
“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”
简单的说，一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维球面。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
1961年，斯梅尔（Smale）证明了n > 4的高维庞加莱猜想，即同伦等价于n维球面的n维闭流形必定是n维球面。
1982年，弗里德曼（Freedman）证明了同伦等价于4维球面的4维闭流形必定是4维球面。这是在1961年斯梅尔的工作之后证明了高维庞加莱猜想的进一步情形。
