佩雷尔曼的生活已经有了很大的变化，他对周围其他的事情没有一般人那么多的期待。仅仅是一般般的观赏。
在他的脑中，只对庞加莱提出的拓扑学问题有了兴趣。
佩雷尔曼生活很简单，一切收入来源除了自己有一丁点的薪水以外，就是自己的母亲养活自己了。
佩雷尔曼知道，当心俄罗斯的生活没有了太多的其他希望，大家过的都不景气，经济也差，机会也少。如果工作找的不合适，那么一生几乎就要穷困潦倒了。
佩雷尔曼自从爱上数学和物理之后，哪里对其他的事情抱有大的兴趣。
此刻是对庞加莱猜想兴趣最大，庞加莱猜想就是：“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”
简单的说，一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维球面。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
庞加莱一开始以为自己已经证明出来了，但没多久，发现其中有错误。
英国数学家怀特海也去证明了，也有错误，但是却发现了怀特海流形。这是三维流形的一些有趣的特例。
帕帕奇拉克普罗斯也想证明，发现了“迪恩引理”。对于庞加莱的猜想，他始终没有证明出来。
庞加莱猜想没有证明出，发展出低维拓扑学。作为几何拓扑学的基础学科，它又无法被绕过去。
斯梅尔说：“如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？”
1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，立时引起轰动。斯梅尔由此获得1966年菲尔茨奖。
1983年，美国数学家福里德曼（Freedman）将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。
拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿（Thruston）就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。
1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。
1979年，汉密尔顿在做Ricci流。丘成桐说，“于是我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。”
Ricci流是以意大利数学家里奇（Gregorio Ricci）命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后，丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。
在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。
在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。
便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。
格里戈里·佩雷尔曼在花了8年时间研究这个足有一个世纪的数学难题后，在2002年11月和2003年7月之间，将3份关键论文的手稿粘贴到专门刊登数学和物理预印本论文的网站上，并用电邮通知了几位数学家，声称自己证明了几何化猜想。
到2005年10月，数位专家宣布验证了该证明，一致的赞成意见几乎已经达成。“如果有人对我解决这个问题的方法感兴趣，都在那儿呢—让他们去看吧。”
佩雷尔曼说，“我已经发表了我所有的算法，我能提供给公众的就是这些了。”
佩雷尔曼使用了物理学中熵的概念去解决这个猜想。
