在数学中，一个柯西序列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。
一组数列由许多元素组成，每个元素都有一个唯一的序号。柯西序列是这样一组数列，它的元素随着序号增加而接近。
给定一个数列，如何判断它是否是柯西序列？方法是先去掉N个元素（N是有限的数），再看剩下的元素有没有这样一种规律：任何两个元素之差不大于任意指定的正数。
这种序列有无穷多个元素，我们可以举一个具体的例子。比如一个序列：{X1， X2， X3， X4…}，其中X1 = 1， Xn+1 =(Xn + 2 / Xn)/ 2。这个序列其实是：{1， 3/2， 17/12 …}。可以证明这个数列最后收敛到一个无理数：根号2。既然它收敛于某个具体的数（根号2），那么当我们去掉有限个数之后，剩下的数都无穷接近于根号2，当然任何两个元素之差不大于任意正数，于是能确定这是柯西序列。
我们可知，柯西序列的定义有赖于如何定义距离。在上述例子里，我们把两个数之差定义为它们的距离，当然距离还有其他的定义方法。只有定义了距离，柯西序列才有意义。换句话说，只有在度量空间中柯西序列才有意义。
柯西序列的重要作用是定义“完备空间”。完备空间是指一种度量空间，它的所有柯西序列（如果有的话），都收敛在这个空间自己里面。有一种直观的形容方法就是完备空间“没有孔”（内部不缺点），“不缺皮”（边界不缺点）。完备空间在数学分析里面有重大作用。
