“方儿这频率说，还有这个波形图倒是给了我不少启发。”沈括皱着眉头若有所思道，“如果不同乐音的波形在模线位置有重叠，便合了拍子，如果瞎弹一气，既使用同样的乐谱也弹不出动人的音乐。”
“爹爹所言极是，这个波形图左右移动叫做相位。人的耳朵很有意思，对音高特别敏感，但是对相位却感觉不是很明显，只是隐隐觉得合不上拍，节奏不对。现在的乐器，音准都没有问题，弹奏高手，其本质也就是对相位位置的把控。完美的演奏就是能将每一个频率在合适地时间弹下。”
“那这波形的高低和乐音的高低有何关系？”
“正如钟摆的摆幅不影响摆动的时间一样，波形的高低只会决定所弹奏声音的大小，和音高却没有关系。就象用在古琴上面轻拨一根弦和重重拨一根弦，其声音大小有变化，但是其音准却没有变化。这个波形的高低也可以叫做振幅。”
“既然方儿你说这声音只和频率有关，频率又有一固定的数字，那为何还有不同的乐器，甚至不同的人发出的声音也不相同？”
“爹爹你说的是声色，当产生声音之时，振动的便不可能只是某个单一的乐器，比如古琴，拨动的是弦，可是振动的不仅仅是弦，还有琴体之上固定弦的岳山和龙龈，基至还有琴背后的龙池、凤沼、雁足都会因弦的振动，而形成共鸣。不同材质的琴体所产生的共鸣作用也不相同，所以有音色的差异。总体而言，材质越紧致，材质内部空隙对声音的影响便越小，可以充分发挥材质外形对音色的影响。这也是古时有人用烧焦的木头或屋檐上的木头制作乐器的原因。而人发声，表面看是嗓子里的声带发音，但却受口腔、鼻腔、胸腔、腹腔甚至整个身体共鸣的影响，所以人的音色很难完全相同。”
“大哥，你觉得方儿讲得怎么样？”沈括看着沈方，满意地说道。
“以音入道，也不过如此吧？”沈披说道，“理学大兴，就在今时。”
“我也有同感。以前我们欣赏评价音乐，往往是凭个人的感受，而方儿却带来了另外一种思路，用数字和乐音的根源来分析音乐，如果能运用好，可以快速提升音乐鉴赏水平和音乐演奏能力。”
“我讲的这些是许多人研究后的结果，我只是照搬而已。”
“是哪位圣贤？”
“我们华夏之地是管子首先提出的三分损益法，但是在西方也有和三分损益法极为类似的五度相生律，却是由刚才讲过的数学家毕达格拉斯所发现。五度相生律在确定徵、商、羽、角时与三分损益法相同，宫生徵，宫乘以二分之三；徵生商，徵乘以四分之三，为八分之九；商生羽，商乘以二分之三，为十六分之二十七；羽生角，羽乘以四分之三，为六十四分之八十一。”
“毕氏继续用角乘以二分之三，为一百二十八分之二百四十三，形成第7个音。”沈方一边在黑板上写到1到7七个数字，一边写下各音的分数。“第4个音，毕氏却没有用第7个音来生成。因为第四个音乘以二分之三，即可得到高八度的宫，即二倍的宫，那么二倍的宫除以二分之三，即可得到第四个音，也就是的三分之四。”
黑板上出现两个整数1和2，1和2之间是六个分数，分别是：9/8、81/64、4/3、3/2、27/16、243/128。从1到243/128这七个数与1到7逐一对应，然后沈方写了1到7的唱名。
“三哥，我有一个问题，一个八度为什么是七个音，而不是六个音或八个音？”沈德问道，沈德的问题同样引起了沈披和沈括的兴趣，他们也不理解为什么沈方要在宫商角徵羽之上再加上两个变徽、变宫两音。变徽、变宫乃至更加细微的一个八度十二个音阶自古以来就有学者进行研究，西汉学者京房便提出了一个八度内分为五十三个音阶的新音律，但是却从来没有人揭示过其中的奥妙，仿佛总是隔着一层窗户纸。
“其实所有音阶都是为了与初始音和谐共鸣。人们很早就知道频率为初始音两倍频率的音与初始音听起来几乎一样，而且还可以发生共振相象。我们把初始音的频率记作F宫音，两倍初始音的频率记作2F。”
“一根频率为F弦只要按住中间，两边的频率便都成为2F，2F与F听起来很和谐。人们很容易尝试按在F弦的三分之一处，这时短弦为3F，而长弦为3/2F，也就是徵音，这两个音听起来也很和谐。”
“人们也尝试按在F弦的四分之一处，这时短弦为4F，而长弦为4/3F，这两个音听起来也和谐，但是明显不如3/2F和谐。所以人们便找到了一个规律，按3/2的比例不断地寻找与F和谐的音。”
“很显然，F乘3/2的平方，应该与F和谐一些，但9/4已超过了2，这个音是高一个八度的商音，根据频率减半声音和谐的特点，9/4除以2等于9/8F，这就是商。”
沈方这是第二次讲宫商角徵羽的生成，但这次明显和上次讲的不同，第一次只是介绍其然，而这一次却是在讲三分损益法的所以然，也就是其原理和目的，沈德等小孩子倒也罢了，沈披、沈括却被猛然点醒，那层窗户纸一捅就破，原来这么容易，只是以前从来没有人讲过，他们也没有仔细思考过其中的机理，难道这就是理学的魅力？！
“同样的，F乘3/2的三次方，也应该与F和谐一些，但27/8已超过了2，这个音是高一个八度的羽音，根据频率减半声音和谐的特点，27/8除以2等于27/16F，这就是羽。”
“同样，F乘3/2的四次方，也与F和谐一些，但81/16已超过了4，这个音是高两个八度的角音，根据频率减半声音和谐的特点，81/16除以4等于81/64F，这就是角。”
“商角徵羽全部是以商乘以若干次3/2推导得来，那么为什么不让F乘以3/2的五次方？毕氏这么做了，243/32超过4而小于8，也是高两个八度的音，243/32除以4等于243/128，这就是变宫音。也就是黑板上的7。”
“那么还能继续乘3/2，分出更多的音吗？当然可以！只是这么分下去永远也分不完，但是大家不要忘记，我们分出这些声音的目的，是要找与F音和谐的声音，如果3/2乘若干次方后，能与2的若干次方接近，那么就达到了分音的目的。”
“3/2的五次方约等于7.59和2的三次方8很接近。所以这五个音：23567加上初始音1，和2F的亲和音4正好组成7个音。就是这七个音：do、re、mi、fa、sol、la、si、do”沈方一边指着唱名、一边唱。
“方儿，这音律之说确实讲透了，而你唱的这些奇怪的字音准也对，只是这奇怪的符画太难辨认。”沈括对这些奇奇怪怪的符号甚为不满。
“记号而已，以后也可以直接指着数字唱。”
“这个发和西，古琴谱中从未见过，但是在笛谱、琵琶谱里却有变徵、变宫两音，若是用方儿讲的数字来记录，这琴谱便极易流传。”
“正是如此，这种记谱的方法为简谱，确实应该多加提倡。毕氏不仅定了七音的频率，而且他还做了关于弦长与频率的试验。得出的结论是，音准只和弦长、弦的拉力有关。事实上，除了弦长和弦的拉力以外，弦的密度也对频率有影响。后来的科学家对波进行了大量的研究，已经有成熟的公式，不知道大伯和爹爹可有兴趣。”
“快快讲来！”沈披和沈括已觉收获颇多，没想到还有更加精细的分析，沈披便急切地说道。
“首先是波长公式，波长等于2倍的弦长除以正弦波经过横线的数量。数量取一时，波长就等于2倍的弦长。”
“其次是波速公式，波的速度等于波长乘以频率，能反应波传递的速度。”
“第三也是波速公式，能够体现波如何生成的公式，波速等于张力除以密度然后再开根号。也就是说，张力越大，能产生的波速越快，密度越大，能产生的波速越慢。”
“第二个公式和第三个公式里面都有波速，很容易得出来，频率等于张力除以密度然后再开根号，然后再除以二倍的弦长。这个公式很清楚地表明，在弦乐器中，弦越长，音越低；拉力越紧，音越高；弦的密度越大，音越低。”
“如果将相同质地不同长度的钢丝绷紧，然后用重锤击打，便可以根据钢丝的长度，调出七个八度的所有的标准音，这样的乐器叫做钢琴。”
“那岂不是将为七七四十九个音阶的乐音？”
“不只四十九个音阶，每一个八度有十二个乐音，一共八十四个音，然后再加上三个低音、一个高音，共八十八个标准音。”
“此十二音阶从何而来？难道也是从三分损益法中得来？”
“正是如此，因为3/2的五次方和2的三次方很接近，可毕竟是近似值，而不是完全相等。在一个八度之内，这么小的差距也许没什么，但是如果乐器的音域跨越了好几个八度，那么这个近似值带来的误差便很大。于是人们开始寻找更好的近似值。”
“通过计算，西汉学者京房发现，3/2的五十三次方和2的三十一次方也很接近，但人耳朵能接受的八度却在七个左右，所以3/2的十二次方129.7和2的七次方128这两个接近的数便成为较为精确的选择。于是古人们把“五度相生律”中“按3/2比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次，便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和4/3F，如今就有了12个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的12声音阶，其频率分别是：F、2187/2048F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。”
“既然如此，七个八度，八十四个音阶正好够用，为什么还要再增加四个声音？”
“有两个原因，第一原因是人的耳朵能分辨的频率差值是2，而最低的几个音已经达到这个分辨的极限；第二个原因是在这八十八个标准音之外的声音听起来很不舒服，所以就舍掉了。”
“这些乐音用什么方法来确定？难道全部用三分损益法？”
“当然不是，三分损益法用到后面，便已经严重地失真。一个八度十二个音的每两个音之间的比例应该是相同的，那么只需要将二开十二次方便可以得到这个比例关系。这个比例近似值是1.059463，也可以简单记成1.06。”
“开十二次方？”沈括乃是有名的数学家，但开十二次方还是一个不小的计算量，“这么大的工作量是怎么做到的。”
“华夏有一奇人朱载堉（注：明朝一皇室子弟）用珠算开方的办法计算出来这个近似值。而这个数字的7次方正好约等于3/2，可以完美地还原所有的音阶，而且做到每个音阶之间比例相同。而有了这些精确的比例关系，88键钢琴的每一根弦的长度和位置便可以精确地制造出来，随后只需要调节钢丝的张力便可以调教出来一架完美的钢琴。”
“哇！”沈德这些小孩子兴奋地叫了起来，“三哥，你得答应送给我一架。”
沈封、沈朗也闹着要钢琴。
“沈氏钢琴自然要做到沈家子弟人手一架。”
“你们几个孩子先别想着要钢琴。那这简谱所用的唱名还有用吗？现在成了十二个音阶了，比原来多了五个音。”沈披眼睛一瞪，大声道。
“简谱这七个音当然有用，增加的五个音离初始音F更加遥远。在一个八度里，与1最近的是5，然后便是高音1的亲和音4。2367与1也比另外五个音和谐一些。而且，大家发现没有，”沈方指着数字，念的却是该数字对应的唱名，“按照三分损益法，2与1、3与2、5与4、6与5、7与6之间的频率比例都是9比8，这个比例叫做全音，而4与3、高音1与7之间的频率比例都是256比243，这个比例叫做半音。五个全音之间便以五个新加进来的音阶分各分成了两个半音。”
“这些半音在简谱国的计法也很简单，被计作：1#、2#、4#、5#、6#，读作：升1、升2、升4、升5、升6。因为是半音，也可以计作：2b、3b、5b、6b、7b，读作：降2、降3、降5、降6、降7。”
