拿破仑三角形还可作如下推广：
以△ABC的三边为边分别向三角形外侧作三个相似的三角形ABC′、CA′B、B′CA，（相似三角形的顶点对应排列）这三个三角形的外心为
P、Q、R，则△PQR也与这三个三角形相似。
外拿破仑三角形即为此题之特例，这只要让三个相似三角形是正三角形即可。
这题的证法与前面类似。
利用高中三角知识还可证明：
三角形的面积等于它的外、内拿破仑三角形面积之差。
15.含义丰富的0
0，通常表示什么也没有。但实际上零表示的意义非常丰富。
0不但可以表示没有，也可以表示有。电台、电视里报告气温是0度，并不是指没有温度，而是相当于华氏表32度，这也是冰点的温度。0还可以表示起点，如发射导弹时的口令是：“9，8，7，6，5，4，3，2，1，0-发射”。0在数轴上作为原点，也是起点的意思。0还可以表示精确度。如在近似的计算中，7.5与7.50表示精确程度不同。
在实数中，0又是正数与负数间的唯一中性数，具备下面一些运算性质：
a+0=0+a=a
a-0=0-a=-a
oa=a0=0，0÷a=0，(a≠0)
0不能作除数，也没有倒数；
0的绝对值和相反数都是0；
任意多个0相加和相乘都等于0。
0在复数中，是唯一辐角没有定义的复数。0还没有对数。现代电子计算机用的二进制中，0还是一个基本数码。
在0发明之前，我们祖先记数的方法是繁琐而不完善的，要记一个大数就要将某些符号重写许多次。
在采用了阿拉伯数码，而没有0这个符号时，前人将几个数之和表示为：1345，这种表示就会产生误解，或是一百零三万四百零五，或是一千三百四十五。于是用打格的办法来区分：1()3()4()5，空的地方表示空位。但这又使运算变得很麻烦。采用0后，就可以简洁地写成：1030405。因此，没有采用0之前，可以说记数法是不完整的。
0是数学中最有用的符号之一，但它的发明是来之不易的。古埃及虽建造了宏伟的金字塔，但不会使用0；中国古代用算筹运算时，怕定位发生错误，开始用□代表空位，为书写方便逐渐写成○。
公元2世纪，希腊人在天文学上用○表示空位，但不普遍。比较公认的是印度人在公元6世纪最早用黑点(·)表示零，后来逐渐变成了0。
16.一公斤大米多少粒？
年轻的女教师给每组发了一包一公斤的大米，并让各组测出1公斤大米包含多少粒米？可以用老师提供的小天平，小杯子，但不能一粒一粒数。
孩子们很兴奋，捧着各种工具忙开了。课堂看起来热闹，但每组的操作都非常有序。学生们先凑在一起讨论并制订测量方案，准备测量工具，差不多5分钟后，他们开始分工合作。基本上都是一个负责测量，一个负责记录，还有一个负责写最后的报告，并不时地交流意见。
第一组选了一个小杯子作工具，先装满一杯米，数出一杯米所包含米粒的数量，然后看1公斤能装几杯，最后算出总的数量。另外一组用了个小天平，先称出100克米，然后数出有多少米粒，最后再乘以10。反正各组有各组的办法。
离下课还有10多分钟的时候，每组都交上了一份详细的报告书，包括测量的方法，用到的工具，过程，得出的结论，还有遇到的困难，等等。接着，老师对各组的作业进行简单地讲评，肯定了做得好的，对做得不好的，也是鼓励多于批评。
授课老师过来跟我们解释，这节课用这样的形式上，并不是浪费时间，让学生掌握比率的运算，掌握使用天平和其他测量工具的方法，都太抽象，老师必须设计出有趣的生活问题让学生体会，同时也要让孩子学会与人相处。
同学们，你们有更好的计算方法吗？
17.年龄漫谈
1978年初，我国前科学院院长郭沫若因病住北京医院诊治。数学家华罗庚前去探望，两人谈起寿称问题。华罗庚向郭沫若询问，古人对高寿人常给以美称，如花甲、古稀等等。但如果年龄未到整数，比如七十七岁，八十八岁，九十九岁，怎么称呼呢？郭老回答道：
“解决这个问题，就要求助于数学和文字学了。”
郭老接着说：
“有人把七十七岁称为‘喜寿’，八十八岁称为‘米寿’，九十九岁称为‘白寿’。原来这是三个字谜。喜字，草写，是由七十七三个字组成；米字是由八十八三个字组成；白字是百字缺一，正好九十九。”
华罗庚听了郭沫若的一番解释，拊掌笑道：
“人说郭老博学多闻，此言果然不虚。”
毛泽东主席晚年常念叨一句俗谚：
“七十三、八十四，阎王不叫自己去。”
有人说七十三岁是孔子逝世的年龄，八十四岁是孟子去世的年龄，因而七十三、八十四是不祥之数。这样的说法当然是迷信。不过，不能把上述这种谚语看成是一种迷信。因为它是人们从千百年来生活实践中总结出来的，反映了一定的人体生物规律，应该从人体生理病理学的角度加以研究。查一查人口档案，可以发现在七十三岁、八十四岁前后去世的人数，确实要比七十至八十、八十至九十这两个年段中其它年龄去世的人数要多，这两个“关卡”是值得进一步去研究的。
有一种研究的成果认为，生命的节律是以七、八的倍数呈现的，逢到这样的年头，人体总会有些消极变化，而这种变化愈老持续的时间愈长。按照这样的理论，七十三岁，实足年龄正好是七十二岁，而八十五岁，实足年龄为八十四岁。
这里出现的8或7，正在“关卡”之上。中国历来有更年期的说法，即女子为“七七四十九”岁，男子为“八八六十四”岁，已成为民间传统的生理常识。而49、64分别是7和8的倍数。这些说法虽不能说确实可靠，但可供参考。
18.运动场上的数学
足球运动员开球或发球时，对方球员必须离足球9.15米以上。为了表示这个范围，人们就在足球场中央画个“中圈”，每场比赛都从这里开球。罚球时，也是这样。以罚球点为圆心，向外画罚球弧，半径也是9.15米。这9.15米有什么根据么？原来足球运动起源于英国，英国人用的长度单位是“码”。当初规定开球、罚球时，对方运动员必须离足球10码以外。而1码等0.9144米，约合0.915米。10码换算成公制，长度就是9.15米。
拳击比赛，优胜者不论得到多少分，都以20分计算，而失败者的得分则需代入下列公式计算：
失败者得分=20－（优胜者实际得分-3）。
例如，优胜者实际得18分，失败者的得分就是
20－（18÷3）＝20－6＝14（分）。
如果胜利者的得分不是3的倍数，计算时先要把它的得分适当进行增减，使它成为3的倍数，然后再代入公式计算。比如，胜利者得16分，则先将16变为15，再代入公式，即得
20－［（16－1）÷3］=20－15÷3=20－5=15（分）。
即失败者得15分。
美国布鲁克林学院物理学家布篮卡对篮球运动员投篮的命中率进行了研究。他发现篮球脱手时离地面越高，命中率就越大。这说明，身材高对于篮球运动员来讲，是一个有利的条件，这也说明为什么篮球运动员喜欢跳起来投篮。
根据数学计算，抛出一个物体，在抛掷速度不变的条件下，以45°角抛出所达到的距离最远。可是，这只是纯数学的计算，只实用于真实的条件下。而且，抛点与落点要在同一个水平面上。而实际上，我们投掷器械时并不是在真空里，要受到空气阻力、浮力、风向以及器械本身形状、重量等因素的影响。
另外，投掷时由于出手点和落地点不在同一水平面上。而形成一个地斜角（即投点、落点的连线与地面所成的夹角）。出手点越高、地斜角就越大。这时，出手角度小于45°，则向前的水平分力增大，这对增加器械飞行距离有利。下面是几种体育器械投掷最大距离的出手角度：
铅球38°～42°；
铁饼30°～35°；
标枪28°～33°；
链球、手榴弹42°～44°。
19.为什么人们不喜欢“13”
人们不喜欢13这个数。上海人讲“十三点”，是一句骂人的话，意思是“呆头呆脑”、“傻里傻气。”
在科学发达的今天，伦敦的住宅区就无法找到门牌号为13的公寓。影剧院里也没有第13排。宴席上第13个位置总是摆着一张独特的桌子。
在十四届世界杯足球赛上，阿根廷足球队开始战绩不佳，后来他们战胜前苏联队，队员们兴奋之余纷纷说：
“我们教练在这场比赛中，没让13号上场是英明的决策。”原来比赛那天正好是1990年6月13日，阿根廷队忌讳13这个“不祥的数字，教练比拉尔多为了稳定军心，忍痛让主力后卫13号洛伦索坐在替补席上，不让他上场。
为什么人们对13这个数如此回避呢？说法很多。
有一种说法是：我们现在通用的十进制是以数10作为基础的，可是在古罗马则是采用十二进制算法的。到后来，把12作为“一打”的计算方法为欧洲许多国家所采用。因此，12成了家喻户晓的进位制的殿军。这样一来，人们对12以后的数就产生一种莫明其妙的感觉，以致认为13这个数是个不祥的数，是个危险的数，所以后来人们就忌讳使用这样的数。
20.坐地日行八万里
古时候，人们以“一日千里”来形容很快的速度。如《史记项羽记》中说：“吾骑此马五岁，所当无敌，尝一日行千里，不忍杀之。”这里的“里”是我国过去用来记路程的单位，2里等于1公里。设想一个人每小时行走5公里，这样不停地走，一昼夜可走
5公里24＝120公里。
如果一匹马每小时跑20公里，这样不停地跑
20公里24＝480公里。
一匹马一昼夜不停地跑，还跑不到一千里，可见当时用“一日千里”来形容高速度，还是很恰当的。
随着科学的发展，用“一日千里”来形容高速度已经不行了。例如，人类居住在地球上，每个人每天都要随着地球的自转而旋转一周。这一周有多远？毛泽东着名的七律二首之一《送瘟神》这首诗是这样写的：
绿水青山枉自多，华陀无奈小虫何！
千村薛荔人遗矢，万户萧疏鬼唱歌。
坐地日行八万里，巡天遥看一千河。
牛郎欲问瘟神事，一样悲歌逐逝波。
这里面“坐地日行八万里”，说的是赤道地区的居民每日随地球自转一周行走8万里。原来地球的半径约为6375公里，地球赤道的周长应该是
2πR=23.14166375公里
=40055公里
＝2里40055
＝80110里。
从这个角度来看，不论日行千里还是日行8万里，还是古人所幻想地朝昆仑而暮苍梧，今天都早已实现了，而且，人类还在不断地向着新的速度挑战。
21.巴依“老爷”买鸡
前些日子，巴依“老爷”的小聪明非但没有得手，还白白损失了七个银环，心疼得要死。一贯坑害别人的他，这口气怎能咽得下去呢？这不他又神气活现的出现在了集市上，不知谁今天又要倒霉了？
“卖鸡喽，公鸡5元3只，母鸡5元2只，快来买呀！”顺着叫卖声，巴依“老爷”来到了鸡摊前，只见他贼眼珠一转，计上心来。“嘿，老头儿，你这有多少只公鸡？多少只母鸡呀？”“各有30只。”卖鸡的老大爷颤颤微微的回答。
“好了，这些鸡我都要了。既然公鸡5元3只，母鸡5元2只，干脆公鸡、母鸡合在一起卖10元钱5只，也省得罗嗦，卖不卖？”老大爷一想，10元钱5只，这样也不吃亏，于是就答应了他的要求。
10（60÷5）=120（元）巴依“老爷”付了120元刚想走。听听阿凡提怒声的吼道：“站住，巴依‘老爷’，你又来骗人了！”一看是阿凡提，巴依“老爷”早已吓得两腿发抖。但还是顾作镇定的说：“你……别……冤枉好人，我……我买东西给钱，怎么骗人了？”“怎么骗人了？只要我们按先前的卖法一算便知。”
说着阿凡提就算了起来：“公鸡应付5（30÷3）=50（元）；母鸡应付5（30÷2）=75（元）；一共应付50＋75=125（元），而你只付了120元，少付了5元。还说没骗人。”
再看这位巴依“老爷”只好低头认错，赶紧补交了5元钱溜了。
22.阿凡提利用数学惩治“吝啬鬼”
新年快到了，阿凡提骑着毛驴往家赶。这天他来到了一个村庄，远远地就见村外一棵老槐树下坐着四个人。走近一看，只见四个人衣服打满补丁，愁眉苦脸，正在那儿哀声叹气。
阿凡提刚一下驴，有一个年轻点儿的就认出他来了，冲着其他三个人喊：“你们快看，阿凡提！这下我们有救了！”
阿凡提上前问是怎么回事，四个人就你一言我一语地叙述了经过。
原来是这么回事：
这个村叫乌拉村，村中有一个老地主姓林，叫林泽会。可是他非常吝啬，那真是一毛不拔，于是，大家就送给他一个外号——吝墙鬼。这四个人是冯大、陈二、褚三、魏四，从远处来这儿打工。快过年了，四人便向“吝墙鬼”要钱回家。
老地主一听要拿他的钱，简直就像剜他的心一样。为了不付工钱，他想出了一条毒计，让他的儿子出了一道数学题——村上挖了一条水渠，312天挖了全长的27，照这样计算，其余的还要几天挖完？并且还说，四个人用不同的方法解出这道题，他给双份工钱，否则一个铜子也不给。
