19世纪后半叶，因为力学、物理学以及数学自身的发展，代数处理的对象越来越多地涉及到矩阵、旋量、刘维尔发现了伽罗华的数学成就，促进了群论的诞生。上图为刘维尔的手迹。超复数等用字母表示的量，这些对象需要加减，甚至乘除运算，然而不同的量有不同的运算规则。于是从群论观点出发，内容丰富的抽象代数理论出现了，形成了诸如“域论”、“环论”、“群论”、“格论”（结构论）等新的数学分支，以及在此基础上概括出来的关于代数体系一般理论的“泛代数论”。另一方面，抽象代数又与数学其他分支结合，开拓出如“拓扑代数”、“微分代数”、“几何代数”和“序代数结合理论”等等一大批边缘学科。这些理论在一些新兴学科中得到了应用。
由于各种代数系统和分支理论的形成，大大扩展了代数领域。代数所研究的内容经过从“字母运算学”、“解方程理论”到“用字母表示的代数系统的运算学”三个发展过程，形成了高度抽象的近世代数理论。
非欧几何
非欧几何的建立
近代几何学是从高斯、罗巴切夫斯基等人对欧几里得的《几何原本》第五公设即平行公设的证明开始的。自从托勒密企电脑绘制的黎曼最小表面。图证明这一公设以来，一直未取得进展。近代初期，勒让德、拉格朗日、达兰贝尔等人都曾试图证明平行公设，但都归于失败。
高斯突破了传统证明方法，提出了非欧几何的有关思想。1826年2月23日，德国数学家罗巴切夫斯基在喀山大学公开声明欧氏第五公设是不可证明的，并提出用另一条相反定理来代替它，即“过直线外的一点至少有两条直线与已知直线平行”。罗巴切夫斯基通过逻辑推理，得出了一系列与欧氏几何完全不同的结果。如两条平行线之间的距离处处不等，三角形三内角之和小于180度。同一条直线的斜率和垂线不一定相交等等。与此同时，匈牙利数学家鲍耶也独立地创立了非欧几何。鲍耶鉴于自己的失败教训，一再告诫他的儿子停止这项工作。但是小鲍耶的努力成功了。非欧几何的建立突破了人们传统的平直空间观念，引起了几何学的一场革命。
欧几里得《几何原本》的希腊文手抄本。非欧几何的发展
继罗巴切夫斯基以后，德国数学家黎曼进一步发展了非欧几何。1854年，他提出了著名的“黎曼几何”思想。黎曼几何引进了两条公理：（1）凡直线都能相交；（2）直线不能无限延长，用以代替欧氏几何的有关直线公理，从而推导出另一个非欧几何体系。在黎曼几何中，过直线外的一点可以作已知直线的无数条垂线。三角形三内角之和大于180度，等等。黎曼几何对于大尺度空间有着重要意义。欧式几何、罗氏几何和黎曼几何分别描述了不同的时空范围，欧式几何可以看作非欧几何在小尺度范围的近似。
非欧几何的诞生，开拓了一个新的几何领域。由此而来的各种新的几何空间不断出现，这些理论在力学、物理学，特别是相对论中发挥了重要作用。
多产数学家欧拉
欧拉（1707～1783）是伟大的瑞士数学家及自然科学家。欧拉出生于牧师家庭，而他对数学最感兴趣。1727年，欧拉应邀到俄国，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面做了大量出色的工作。但大量的写作却使他在1735年右眼失明。1741年，他又应邀到柏林科学院工作达25年之久。欧拉这个时期在微分方程，曲面微分几何以及其他数学领域的研究都是开创性的。1771年，欧拉的左眼也完全失明。然而由于他惊人的记忆力和心算技巧使他的创造力继续得到发挥，直至生命的最后一刻。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上做出伟大贡献，而且把数学应用到几乎整个物理领域。他又是一个无与伦比的多产作者，他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》都成为数学中的经典著作。
欧拉最大贡献是扩展了微积分的领域，为分析学的一些重要分支与微分几何的产生和发展奠定了基础。欧拉对数学的研究非常广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
“数学之王”高斯
高斯（1777～1855）与牛顿和阿基米德被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以与阿基米德、牛顿与欧拉并列，有“数学之王”之称。
他幼年时就表现出超人的数学天才。18岁他进入格丁根大学学习，大学的第一年发明二次互反律，第二年又得出正十七边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了两千年来悬而未决的难题。22岁时因证明代数基本定理而获博士学位。
高斯的数学成就遍及各个领域，在数论、代数学、非欧几里得几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有一系列开创性贡献。高斯的数论研究总结在1801年出版的《算术研究》中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理。
西方近代的数学传入中国
1840年的鸦片战争以后，西方近代数学开始传入中国。首先是英国人在上海设立墨海书馆，介绍西方数学。第二次鸦片战争后的“洋务运动”中，中国数学工作者和外国学者一起翻译了一批近代数学著作。其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《几何原本》后9卷、《代数学》、《代微积拾级》；华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》、《微积溯源》、《决疑数学》；邹立文与狄考文编译的《形学备旨》、《代数备旨》、《笔算数学》；谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》，《八线备旨》等等。其中，《代微积抬级》是中国第一部微积分学译本，《代数学》是英国数学家德·摩根所著，是一部重要的符号代数学译本，《决疑数学》是第一部概率论译本。
戊戌变法（1898）以后，各地兴办新法学校，上述一些著作便成为主要教科书。在翻译西方数学著作的同时，中国学者也进行一些研究，写出一些著作，较重要的有李善兰的《尖锥变法解》、《考数根法》；夏鸾翔的《洞方术图解》、《致曲术》、《致曲图解》等等，都是会通中西学术思想的研究成果。
由于传人的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，内忧外患使清政府焦头烂额，无暇顾及数学研究，直到1919年五四运动以后近代数学的研究才真正开始。
中国近代科学的先驱李善兰
李善兰（1811～1882）是中国清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱。
1852～1859年，李善兰在上海墨海书馆与英国传教士、汉学家伟烈亚力等人合作翻译了大量西方近代科学著作，为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献。1860年起，他与化学家徐寿、数学家华蘅芳等人一起，积极参与洋务运动中的科技学术活动。1868年，李善兰被荐任北京同文馆天文算学总教习直至逝世，从事数学近代诞生的立体化学直接推动了整个化学领域的发展。教育十余年，培养了一大批数学人才，是中国近代数学教育的鼻祖。
李善兰在数学研究方面的成就，主要有尖锥术、垛积术和素数论三项。他创立的“尖锥”概念，是一种处理代数问题的几何模型。垛积术理论主要见于《垛积比类》，是李善兰从研究中国传统的垛积问题入手，获得的一些相当于现代组合数学中的成果，其中驰名中外的“李善兰恒等式”，自20世纪30年代以来，受到国际数学界的普遍关注和赞赏。可以认为，《垛积比类》是早期组合论的杰作。素数论主要见于《考数根法》，这是中国素数论方面最早的著作。在判别一个自然数是否为素数时，李善兰证明了著名的费马素数定理，并指出了它的逆定理不真。
化学
在近代自然科学革命中，天文学、医学和物理学等领域的新学说从根本上动摇了神学的基础。这时自然科学逐步从哲学中分化出来，形成了分别研究某一类自然现象和运动形式的分支学科。
化学也是如此，它强调理论与实践的统一，对种种见解、学说以及理论，要求通过实验加以检验。这就促使化学研究进入了实验室，并与生产实践紧密联系，创造了一整套的研究方法。
这一时期，最早的化学基本定律出现了，电化学、分析化学、有机化学开始兴起，无机化学开始走向系统化，有机合成化学也开始兴起，物理化学也在19世纪末期建立起来。
影响深远的“燃素说”
17世纪到18世纪中期，很多化学家和医学、生理学家曾广泛地研究了燃烧和呼吸现象，并对这种现象提出了各种学说，其中，以德国的施塔尔为主的“燃素说”影响最为深远。
燃素说认为一切可燃的物质中都含有一种气态的要素，即所谓燃素，它在燃烧过程中从可燃物中飞散出来，与空气结合，从而发光发热；而且把一切化学变化，甚至物质的化学性质乃至颜色、气味的改变都归结为物质释放燃素或吸收燃素的过程。
燃素说把当时所知的大多数化学现象作了统一的解释，帮助人们摆脱了炼金术思想的统治，对促使化学得到解放起到了积极的作用。
燃素说的提出者——施塔尔
施塔尔（1660～1734）是德国化学家和名医。他曾经是炼金术的崇拜者，但后来改为学医。1684年于耶拿大学读完医学。1694～1715年任哈雷大学化学和医学教授。1716年任普鲁士宫廷医生。
施塔尔被认为是当时的第一流化学家。他的重大成就是1703年提出了燃素说，该学说流行于18世纪。他还是最早进行氧化还原反应试验的化学家，又是冰醋酸的最初制造者。
重要气体的发现
17～18世纪，化学家们发现并区分了碳酸气、氢气、氮气、氧气、氯气以及氧化氮、硫化氢、笑气、氨、氯化氢、氧化硫、氟化氢等等气体。虽然许多人并未能正确地解释它们，但认识了空气的复杂性和气体的多样性，积累了一些化学知识。英国化学家梅奥、布莱克、卡文迪什、普里斯特利，瑞典化学家合勒等为此做出了卓越的贡献。
布莱克对二氧化碳的研究
布莱克（1728～1799）是英国化学家和物理学家。布莱克的主要贡献是阐明了一些气体的化学性质，尤其是对“固定空气”（即二氧化碳）的研究。他最早应用定量的方法来研究二氧化碳。他在石灰石煅烧前后分别称其重量，发现石灰石煅烧后减轻了44％，他断定这是因为有气体从中放出的缘故。由于这种气体是固定在石灰石中的，他就将它命名为“固定空气”。布莱克还对“固定空气”做了多方面的研究，发现它能被苛性碱吸收，使苛性碱变为苏打；蜡烛在里面不能继续燃烧，麻雀在里面会窒息而死。
布莱克对二氧化碳的研究所做出的另一重要贡献，是初步揭示了碱的苛性本质。当时燃素说认为：石灰石燃烧后变为苛性石灰是由于从煤炭中吸收燃素的结果。布莱克根据定量试验断言：石灰石煅烧失重转变为苛性石灰，苏打转变为苛性碱，都是由于失去了酸性的“固定空气”所引起的，与吸收不吸收燃素没有丝毫关系。这是对燃素说有力的否定。
二氧化碳分子结构模型。气体研究的大师——卡文迪什
卡文迪什（1731～1810）是英国物理家、化学家。卡文迪什在化学领域的成就非常突出。他的第一篇论文详细地叙述了“可燃空气”（氢气）的特性。他用铁或锌作用于盐酸或稀硫酸制备氢气，并最先用排水集气法把氢气收集起来，仔细研究它的性质。他还发现氢气与空气混合后，经点燃就会爆炸，所以他称氢气为“可燃空气”。
1781年，卡文迪什把各种不同比例的干燥氢气与空气的混合物放在一个玻璃球内，通上电流，反应后发现瓶的内壁上有露珠，经过检验，露珠是纯水，从而证明了水是氢和氧的化合物。1785年他把电火花通过氧气与空气的混合气体，使空气中的氮被氧化后，再用氢氧化钠溶液吸收氮的氧化物，以便把氮气除掉。但是，他发现有一部分“浊气”（即氮气）始终未能被氧化并被氢氧化钠吸收。当时，他指出这个残余部分不超过反应管中“浊气”总量的1／120。因此，他曾经预言，大气中有一种不知名的气体存在，其含量不超过“浊气”的1／120。这个预言一直到1894年，拉姆齐和瑞利发现氩气之后，才得到了证实。
水分子式的发现
水的分子式是由卡文迪什于1781年发现的。卡文迪什最初是研究空气的，经过研究他指出，除了平常的空气外，还有其他不同种类的气体，如比一般空气重的固定空气（即二氧化碳）等等。
