第11章 数学教学(2)

学生学习书本知识，一般来说是从感性认识开始的，小学生的感性认识虽然可以在生活经验中取得，但毕竟是有限的，有些则需要教师演示直观材料才能获得。因此，恰当地演示直观材料，给学生鲜明具体的表象，有利于学生思维能力的发展，为学生顺利掌握知识创造有利条件。如三角形面积公式的推导，对学生来说是不容易理解的，但通过演示就可以把建构过程充分展示给学生，使学生对用割补法如何把三角形转化为平行四边形进而导出公式的过程一目了然。又如一道难度较大的复合应用题，利用线段图就可以把抽象的数量关系在图上清楚的揭示出来，给学生正确列式提供有利的条件，从而达到突破难点的目的。

五、动手操作突破难点

小学生抽象思维能力差，具体形象思维处于主导地位。在学习过程中要完成从感性到理性认识的飞跃，是很不容易的。尤其是学习抽象的数学概念困难就更大。在数学中让学生动手操作形成表象，再利用表象的中介作用把具体形象思维上升到抽象逻辑思维，是突破教学难点的好方法。如对二年级学生进行“等分除法”和“包含除法”概念的渗透。教师不好教，学生也难以理解。如果让学生动手摆一摆分一分，并且把操作和语言表述结合起来，逐步抽象，就会收到很好的效果。

六、质疑问难突破难点

根据教材内容确定难点，采取恰当的方法突破难点，是教者在教学中必须虑及到的。然而由于教者对教材理解掌握有限，学生知识基础和智力上的差异，教学中又会出现教师事先估计不到的难点。这样在教学中给学生质疑问难的机会，由学生自己提出难点，并让学生集思广益去解决难点，学生解决不了的再由教师解疑答难，是一举两得的好方法。

突破难点还有一些方法，如电教手段的运用，设计题组突破习题中的难点等。

总之，只有教师在真正理解和掌握教材的基础上，才能摸准教学难点的“脉搏”，做到“对症下药”，使课堂教学产生增效应。

数学概念的分类及其教学

众所周知，数学概念是数学知识的基础。学生对数学概念的掌握、理解、深化的程度，直接影响到对数学学习的效果。在小学数学中概念的教学贯串整个小学数学知识的各个领域。长期以来，由于小学生知识面和生活经历的局限，小学数学概念的教学一直是教师感到头痛的一件事。本文试想从小学数学概念的分类及其教学，谈谈个人粗浅的看法：

一、小学数学概念的分类

小学数学概念大致可以分为下面几类：

1.数的概念——整数，小数，分数，百分数，奇数，偶数，基数，序数，计数单位，分数单位，数值，绝对值，倒数等。

2.几何形体的概念——点，直线，线段，射线，垂线，平行线，锐角，直角，正方形，长方形，平行四边形，梯形，三角形，圆，圆柱，圆锥，周长，面积，体积等。

3.运算方面的概念——加、减、乘、除，加数，被加数，减数，被减数，乘数，被乘数，除以，乘以等。

4.数的整除方面的概念——整数，约数，倍数，公约数，公倍数，最大公约数，最小公倍数，质数，合数，互质数等。

5.比和比例的概念——比，比例尺，正比，反比，比例，前项，后项，比值，正比例，反比例等。

6.量的计量的概念——长度单位，重量单位，时间单位，面积单位，体积单位，地积单位等。

7.式的有关概念——等式，不等式，方程，方程的解等。

8.其他有关术语——增加、减少，扩大，缩小，路程，速度，平均等。

二、概念教学的几种方法

根据小学生的知识水平及心理特点，我认为概念教学，可采用以下方法：

1.根据学生熟悉的事物，采用诱导的方法

根据学生熟悉的事物，在增强感性认识的基础上，引导他们进行比较、分析、综合、抽象和概括，抛弃事物的非本质属性，把事物的本质属性集中起来，形成数学概念。

例如，二年级教“长方形”的认识时，可利用“书本面”、“文具盒面”、“桌子面”，“黑板面”等，引导学生观察并数出每个图形有几条边、几个角，用尺量出每个图形四条边的长度，观察其中哪两条边的长度相等，然后再用三角板的直角跟每个图形中的四个角比一比，看看四个角是不是直角。通过学生熟悉的事例和老师的不断引导，逐步领会到这些图形的共同本质属性，然后再概括出抽象的“长方形”的概念，并指出各部分的名称。

2.在原有概念的基础上，利用种加类征的方法进行新的概念教学概念与概念之间往往有着非常密切的联系，除了少数原始概念外，新的概念一般都是在原有概念的基础上运用“种加类征”的方法建立起来的。所以在教学中，只要在原有概念的基础上，添加新概念的类征，就可以形成新的概念。这样，学生既学习了新的概念，又理解了新、旧概念之间的联系和区别。

例如，四年级在教“锐角三角形”、“直角三角形”、“钝角三角形”、“等腰三角形”等概念时，都可以三角形这个概念的基础上引出。以“钝角三角形”为例，它除了具备“三角形”的本质属性外，还具有其中有一个角是钝角这一特殊的本质属性——类征。在教学中，可以画出几个形状各异的三角形，让学生比较、鉴别，从而得出“钝角三角形”这一概念。

3.利用运算结果，引导学生自觉发现结果中的某些特征的方法进行新的概念教学一般反映数量关系的数学概念都是与数字运算密切相关联的。它们的本质属性常常表现为运算的结果具有某些特征，可以通过计算引出来。

例如，四年级在教学数的整除这一概念时，就可以通过除法算式：32÷0.8＝40，32÷8＝4，3÷2＝1.5……，105÷5＝21的计算，然后引导学生观察、分析：一类商正好是整数，没有余数；另一类是有余数。在商是整数的算式32÷0.8中虽然商是整数，但除数0.8不属于自然数范围，而只有算式32÷8，105÷5，不但商为整数，且被除数和除数都是自然数，从而得出整除的概念（整除的概念推而广之，可在整数集中讨论）。

在使用这一方法进行教学时，应尽量让学生自己进行有关的计算，教师着重引导学生观察、分析计算结果的特征。

4.运用逐步渗透的方法进行概念教学

数学中的一些原始概念，如“集合”、“单位1”、“对应”、“直线”等，只能给予某种描述。要使小学生精确地理解这些概念，并非一日之功所能奏效的。对于这些概念，可以采用逐步渗透的办法，让学生在不同的教学阶段，从不同的角度，多次接触概念所反映的一些事物，使他们在潜移默化中逐步领会概念含义，然后在适当的时候，对概念给予恰当的描述。

例如，在认数教学中，课本中就出现某些集合的图形。有的把5朵花画在一个圆圈内，有的把7只羊画在一个圆圈中。这样做的目的，是使学生初步孕育整体的概念。诸如此类的图形在课本中一再出现，使学生对整体的观念不断增强，逐步认识到几个同类的东西可以看成一个整体，为引出集合这一概念作准备。

当然，在进行某个概念教学中，并非单独地使用某一个方法，有时几种方法有机地配合起来使用，教学效果会更佳。这要视具体的教学内容和不同的教育对象而定。

让学生自己发现规律

培养学生思维的创造性是素质教育的培养目标之一。让学生自己发现数学规律，是小学数学教学中培养学生思维创造性的重要手段。王晓莉老师的比例的基本性质的教学比较好地体现了这一培养目标。

王老师在介绍了比例各部分的名称以后。出示了两个比例：

（1）80：2=200：5。

（2）4.5：2.7=10：6。

师：请同学们分别计算这两个比例的内项积和外项积。

生：第一个比例的内项积和外项积都等于400，第二个比例的内项积和外项积都等于27。

师：观察计算结果，谁发现这两个式子有什么共同特点？

生：两个比例都是外项的积等于内项的积。

师：其它比例是否也具有这一规律呢？请同学们实验几个比例。

生（学生计算一阵后，异口同声地说）：每个比例都具有这一规律。

师：对。任何一个比例的两个内项的乘积都等于它的两个外项的乘积，这个规律就叫做比例的基本性质。

（师生一起复述比例的基本性质，并指定学生把这一性质写到黑板上。）评析：这种让学生从观察中自己发现数学规律的教学方法，不仅可以使学生对所学新知识理解深刻，更重要的是使学生在发现数学规律的过程中，潜移默化地感知到了发现事物规律的思维方法，培养了学生的创造能力。

理解原理促进迁移

学习迁移，普遍地存在于知识学习和技能训练之中，其主要功能是能使知识“举一反三”、“触类旁通”。教师有效地教学，就是能促使学生在学习的过程中，尽快地、准确地实现知识的迁移。一位教师在教小学数学“简便运算方法”时，发现学生计算如“153—98”这类题，一般都采用100-98+53=55或153-98=153-100+2=55这两种简便运算方法，为了帮助学生寻找更为简便的计算方法，他是这样设计教学过程的：

第一步：联系生活，巧设问题

师（联系小学生熟悉的生理年龄提出问题）：小强今年12岁，他的妹妹小红今年9岁，小强比妹妹小红大几岁？

生（齐答）：小强比妹妹小红大3岁。

师（板书）：12-9=3（岁）

师：3年前，小强和妹妹小红各几岁？又相差几岁？

生：小强是12-3=9（岁），小红是9-3=6（岁），两人相差3岁。

师（板书）：（12-3）-（9-3）=3（岁）

师：3年以后呢？两人又相差几岁？

生：小强是12+3=15（岁），小红是9+3=12（岁），两人仍相差3岁。

师（板书）：（12+3）-（9+3）=3（岁）

第二步：观察算式，找出规律

师：请同学们仔细观察老师板书的三个算式，思考两个问题：

1.在每个算式中有几个减数？

2.在只有一个减数的算式中，被减数和减数同时加上或减去一个相同的数，差变不变？

生：每个算式中都只有一个减数。在只有一个减数的算式中，被减数和减数同时加上或减去一个相同的数，差不变。

师：这就是规律。有谁能用这个规律说出“153-98”的简便运算方法？

（学生纷纷举手。）

一生回答：153-98=（153+2）-（98+2）=155-100=55。

第三步：练习巩固，实现迁移

最后这位教师又举了一些如“278-103”、“305-95”等例子，让学生反复练习巩固，学生很快就实现了知识的迁移。

产生迁移的关键是学习者能在两种活动中概括出它们之间的共同原理。上述这位教师，充分联系学生的生活实际选材举例，深入浅出地分析启发，引导学生认真观察、反复比较、发现规律，从而使学生在理解原理的基础上，有效地促进了知识的迁移。这种教学构思别具一格，对我们确有很大启发。

图形变而结论不变

练习课上，张老师出了一道习题：

正方形中有宽为2厘米和宽为6厘米的两个长方形条块重叠构成的部分（见图1中阴影部分），面积是308平方厘米。求正方形的边长。

出题后，张老师给了学生充分思考的时间，并且允许他们互相讨论。一阵沉思后，又一阵争论。有人举手了，要求发言。

学生甲画出了图2，她把原图中宽为2厘米的长方形条块补到正方形下方，说图2中的阴影部分构成的长方形面积是320平方厘米：308+6×2=320（平方厘米）；宽是8厘米：6+2=8（厘米），长是40厘米：320÷8=40（厘米）。这也就是原来正方形的边长，是40厘米。

正当学生为解决了一道较难的习题而欢欣鼓舞时，张老师又画出了图3和图4，说阴影部分的面积仍都是308平方厘米，怎样求正方形的边长。

又是一阵沉思。忽然学生乙情不自禁地喊“行了！”张老师提醒他举手发言。他说，如果把图3、图4中竖着的长方形条块往右移到右边，把图4中横着的长方形条块往下移到下边为止，那么就都变成了刚才那道习题了，所以正方形的边长也都是40厘米。

张老师说：同学们，他把图3、图4转化归结为刚才那道题的图形来做，这种想法太好了。现在，我把图再变一下，图5中两个平行四边形的重叠部分构成长是6厘米、宽是2厘米的长方形，整个阴影部分的面积仍是308平方厘米。怎样求正方形的边长呢？

学生丙大概很聪明，他很快举手了。他说图5中的两个平行四边形分别与原题中的两个长方形条块等底等高，面积分别相等，所以仍可以把图5化成图1来做，正方形的边长仍是40厘米。

张老师说：你说得真好。

张老师笑了，同学们也笑了。

精心设计练习培养思维能力

教师要设计一些难度适中、新而有趣的问题，让学生从多角度、多方面去探索解决问题，培养学生的思维能力。

一、多向探索，培养思维的灵活性