皮埃尔·德·费马随手写在丢番图的《算术》一书空白处的话变成了历史上最令人头疼的谜。尽管经受了三个世纪的壮烈的失败，而且哥德尔的工作使人想到他们可能一直在追寻一个不存在的证明，一些数学家仍然继续投身于这个问题。大定理就像数学中的塞壬塞壬（Siren）为希腊神话中半人半鸟的海妖，常以美妙的歌声诱惑经过的海员而使航船触礁沉没。——译者，诱惑天才人物走近它，结果却打破了他们的希望。任何卷入费马大定理的数学家都冒着白白浪费生命的风险，然而任何能做出关键的突破性工作的人也会因解决了世界上最困难的问题而载入史册。
有两个原因使一代又一代的数学家着迷于费马大定理。首先是一种极为强烈的要胜人一筹的意识。大定理是最高的测试，无论谁能证明它，谁就在欧拉、柯西、库默尔以及无数别的人曾经失败过的地方取得了成功。正像费马本人从解决使他的对手难倒的问题中得到很大的乐趣一样，谁能证明大定理，谁就会因自己解决了一个困惑整个数学界长达几百年的问题而感到非常愉快。其次，无论谁能响应费马的挑战，他就会享受到解谜时的那种单纯的满足感。这种来自于解答数论中深奥问题的喜悦与思索萨姆·洛伊德的简单智力游戏时的单纯乐趣并无多大差别。有位数学家有一次对我说，他从解数学问题中获得的愉快与填字游戏癖好者获得的乐趣是类似的。165在一个特别难做的填字游戏中填入最后一个提示词语时总会使人感到满足，但是想象一下，在花了好多年的时间研究一个世界上还没有人能够解决的难题之后终于想出了它的解答时，那该有多大的成就感!
这些就是安德鲁·怀尔斯会被费马问题强烈吸引住的同样原因：“纯粹数学家就是爱好挑战。他们喜欢解答未解决的问题。做数学时会产生一种极好的感觉。你着手解一个使你迷惑的问题，你无法理解它，它是那么地复杂，使你一点也看不明白。但是后来当你最终解出它时，你会不可思议地感到它是多么地美好，它组合得又是多么地精巧。最容易使人误解的问题是那种看上去容易，而结果却证明是非常错综复杂的问题。费马大定理就是这类问题中最典型的例子。它正是看上去好像应该有一个解答的，当然，它也是非常特殊的，因为费马讲过他已经有了一个解答。”
数学在科学技术中有它的应用，但这不是驱使数学家们的动力。
激励数学家们的是因发现而得到的乐趣，G.H.哈代在《一个数学家的自白》中试图解释并说明他自己从事数学生涯的理由：
我只想说，如果弈棋中的问题（用粗俗的说法）是“无用的”，那么对于绝大多数最出色的数学来说也同样是如此……我从未完成过任何“有用处”的工作。在我做出的发现中没有一个使世界的舒适方便发生过或者可能发生丝毫的变化，不管是直接的还是间接的，有益的还是有害的。从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零；在数学圈之外，它不管怎样是没什么价值的。我只有一种选择才能免得被裁决为完全无价值，那就是可以认为我创造了某些值得创造的东西。我创造了某些东西这一点是无可否认的，问题是它们有多大的价值。
解答某个数学问题的欲望多半是出于好奇，166而回报则是因解决了难题而获得的单纯而又巨大的满足感。数学家蒂奇马什（E.C.Titchmarsh）蒂奇马什（1899-1963），英国数学家。——译者有一次说过：“弄清楚π是无理数这件事可能是根本没有实际用处的，但是如果我们能够弄清楚，那么肯定就不能容忍不去设法把它弄清楚。”
费马大定理足以引起我们的好奇心。哥德尔的不可判定性定理已经给这个问题是否可解带来了可疑因素，但是这还不足以吓退真正的费马迷。令人更为泄气的是这样的事实：到了20世纪30年代，数学家们已经将他们的方法差不多都试过了，几乎没有别的方法可用了。需要的是新的工具——某种能提高数学家士气的东西。第二次世界大战恰好提供了所需要的这个东西——自从计算尺发明以来计算能力的又一次大飞跃。
野蛮的力迫法
当1940年G.H.哈代宣称最好的数学大部分是无用的时候，他很快就补充说这并不一定是坏事：“真正的数学对战争并无影响，迄今为止还没有任何人发现数论能为任何与战争有关的目的服务。”
哈代的话立即被证明是错的。
在1944年，约翰·冯·诺伊曼与人合作写了一本《对策论和经济行为》（TheTheoryofGameandEconomicBehavior），其中他创立了“对策论”这个术语对策论亦称博弈论。——译者。对策论是冯·诺伊曼用数学来刻画对策的结构以及人们如何进行操作的一个尝试。他从研究弈棋和扑克游戏着手，然后继续尝试模仿诸如经济学之类的更复杂的对策。167在第二次世界大战之后，兰德公司（RAND）认识到冯·诺伊曼的思想的潜力，聘用他研究制定冷战策略。从那时起，数学对策论就成为将军们通过把战役看做复杂的棋局来检验他们的军事策略的基本工具。
对策论在战役中的应用可以通过“三人决斗”作简单的说明。
三人决斗类似于二人决斗，只是参加者有3个而不是2个。一天早晨，黑先生、灰先生和白先生决定，通过用手枪进行三人决斗直到只剩下一个人活着为止来解决他们之间的冲突。黑先生枪法最差，平均3次中只有1次击中目标；灰先生稍好一些，平均3次中有2次击中目标；白先生枪法最好，每次都能击中目标。为了使决斗比较公平，他们让黑先生第一个开枪，然后是灰先生（如果他还活着），再接着是白先生（如果他还活着）。周而复始，直至他们中只有一个人活着。问题是：黑先生应该首先向什么目标开枪？你可能会根据直觉来猜，或者更为好一点根据对策论来猜。答案在附录9中讨论。
在战争期间比对策论有更大影响的是破译密码的数学。在第二次世界大战期间，盟军认识到只要能足够快地进行计算，那么在理论上数理逻辑可以用来破译德军的信息。挑战性的问题是要找到一种使数学自动化的方法，以便可以用机器进行计算。阿兰·图灵（AlanTuring）是对这次破译密码的努力贡献最大的英国人。
图灵完成了在普林斯顿大学的工作后于1938年回到剑桥。他亲眼目睹了哥德尔的不可判定性定理引起的混乱，并且参与了设法补救希尔伯特之梦的工作。特别是，168他想要知道是否有一种方法能决定哪些问题是可判定的或不可判定的，并试图发展解答这个问题的一种条理清楚的方法。当时的计算装置是原始的，并且在需要认真解决的数学问题面前显得特别无用。因此，图灵把他的想法建立在一种虚拟的能作无限次计算的机器的概念上。这种有无穷无尽的虚拟工作纸条可供使用并可永远计算下去的假想的机器，就是图灵为探索他的抽象的逻辑问题所需要的全部“工具”。图灵当时没有意识到他的虚拟的用“机械”解答问题的方法最终导致了在真实的机器上进行真实的计算的突破性成就。
尽管战争已经爆发，图灵作为国王学院的研究员继续他的研究工作，直到1940年9月4日他作为剑桥大学研究员的称心如意的生活才突然中断。他被征召到政府编码和密码学校工作，这个学校的任务是破译敌方的密码信息。早在战前，德国已经投入相当大的力量发展最高级的密码系统，这是过去一直能相当容易地破译敌方电文的英国情报部极为担心的事。英国文书局官方的战争历史书《第二次世界大战中的英国情报》（Britishintelligenceinthesecondworldwar）记述了20世纪30年代时的状况：
到了1937年，已经可以确定，与日本和意大利的相应部门不一样，德国的陆军、海军，很可能还有空军，再加上其他的国家机构像铁路部门和党卫军，在所有的通讯中（除了他们的战术性通讯外）都使用了不同型号的同一密码系统——Enigma机。Enigma机在20世纪20年代曾投入市场销售，但德国经过不断改进已使它变得更为安全可靠。在1937年，政府编码和密码学校开始破译出改良较小和安全性较差的型号的Enigma机，170这种机器是德国、意大利和西班牙的民族主义力量正在使用的，但是除了这种型号外，Enigma机仍然没有被破译，而且似乎这种状况还会继续。
Enigma机由一个键盘和一个与它连接的保密装置组成。这个保密装置包括3个独立的变码旋转件。这些变码旋转件的定位决定了键盘上的每个字母将如何被译成密码。使得Enigma密码如此难以破解的原因是这种机器可以按为数极多的方式来设定。首先，机器中的3个变码旋转件可以从5个中挑选，而且可以改变和交换从而迷惑破译密码者。其次，每个变码旋转件的定位方式有26种。这意味着这种机器可以按百万种以上的方式设定。除了变码旋转件提供的各种置换外，机器背后的控制板接头也可用手工改换。这样就产生1.5亿兆种可能的设定方式。为了更进一步增加保密性，这3个变码旋转件连续不断地改变它们的方向，结果每当传出一个字母后，机器的设定方式，以及因之出现的编密码的方式，对下一个字母来说就作了改变。
所以“DODO”就会编译成电文“FGTB”——“D”和“O”被传送出两次，但每一次的密码是不同的。
Enigma机被分配给德国陆军、海军和空军使用，甚至还用于铁路和其他政府部门。和这个期间使用的所有的编密码系统一样，Enigma机的一个弱点是接收者必须知道发送者的Enigma的设定方式。为了保持秘密，Enigma的设定方式必须每天改动。发送者规则地改变设定方式并使接收者知道的一种方法是，171将每天的设定方式印制成一本保密的电码本。这种方法的危险性在于英国人可能会捕获一艘德国潜艇，从而获得载有供下个月中每天使用的全部设定方式的电码本。另一种替代的方法，也是大多数战争中釆用的方法是将每天的设定方式在实际电文的开场白中传送，不过要按前一天的设定方式编成密码。
当战争爆发时，英国的密码学校是以古典文学研究者和语言学家为主体的。不久外交部就意识到数论家更有可能找到拆解德国密码的关键，作为开始，9位英国最杰出的数论家被召集到密码学校位于布勒切莱公园的新房子里，这是在白金汉郡的布勒切莱的一座维多利亚式大楼。图灵不得不放弃他假想的具有无穷多的工作纸条并能计算无穷多次的机器，而做出让步来从事一项资料有限且时间紧迫的实际工作。
密码学是编码者与解码者之间的一场智斗。编码者的任务是，将要输出的电文搅乱并快速拼凑起来达到如果它被敌方截获也无法破译的程度。然而，由于要迅速和有效地发送出电文，对于可能的数学处理在次数上有所限制。德国的Enigma编码的威力在于它以非常高的速度使编码电文经历几个层级的加密。解码者的任务是，截取电文并在电文的内容尚未过时的期间解开密码。一份命令击沉一艘英国船只的德方电文必须在该船被击沉之前破译。
图灵领导了一个数学家小组，试图建造Enigma机的反转机。图灵将他在战前的抽象思想融合进这些装置中，这样就在理论上可以做到有法可依地测试出所有可能的Enigma机的设定方式直至将密码破译为止。172这台英国机器有2米高和2米宽，使用电动机械的继电器来测试可能的Enigma设定方式。这些继电器不断发出的滴答声使它们得了个“炸弹”的绰号。尽管它们速度很快，但这些炸弹是不可能在一个适当的时限内将1.5亿兆个可能的Enigma设定方式中的每一个都测试完的，所以图灵小组必须利用从发送来的电文中他们能够搜集到的任何信息来找出一种方法使置换的次数大大地减少。
英国人取得的最重大的突破之一是，认识到Enigma机永远不可能将一个字母编为它自身的密码，也就是说，如果发送者击打键“R”，那么根据机器的设定方式机器完全可能送出任何别的字母，但是绝不会是字母“R”。这个表面上无足轻重的事实正是为了大量地减少破译电文所花的时间所需要的一切。德国人通过限制他们发送的电文的长度来作对抗。所有的电文都不可避免地含有解码小组所需的线索，电文越长，包含的线索越多。通过把所有的电文限制在250个字母以内的办法，德国人希望对Enigma机不能将一个字母编为它自身的密码作一些补偿。
为了拆解密码，图灵常常试图猜测电文中的关键词。如果他猜对了，那么就会大大加快拆解其余部分的密码。例如，如果解码者怀疑电文中会有气象报告（这是常见的一类加密报告），他们就会猜测电文中有像“雾”或“风速”之类的词。如果他们是对的，他们就能很快地破译电文，并且由此推断出那天Enigma的设定方式。那天的其余时间里，其他更有价值的电文就能容易地破译。
当他们没能猜出气象用词时，173英国人就会把自己置于德国Enigma机操作员的位置来猜别的关键词。粗心的操作员可能会使用名字来称呼接受者，或者操作员已经形成一种为解码者熟知的癖性。当所有别的办法都失败时，或者未检测到德方来往的电报时，据说英国密码学校甚至会借助于请求皇家空军在某个选定的德国港湾布雷。于是，德国港湾的首领马上会发送一份密码电文，而英国方面就会截获这份电文。解码小组可以确信这份电文中含有像“布雷”、“躲避”和“地图参照物”之类的词。在破译这份电文后，图灵就会知道那天的Enigma设定方式，而以后的任何德方电报通讯就很容易被快速破译。
