安置好他的新家后，毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯兄弟会——一个有600名追随者的帮会，这些人不仅有能力理解他的课程，而且还能补充某些新的想法和证明。一旦参加兄弟会后，每个成员就必须将他们尘世间的一切财产捐献给公共基金。任何成员如果离开该会，那么他们可收到相当于他们最初捐献的两倍的财产，并为他们竖立一块墓碑以志纪念。兄弟会是一个奉行平等主义的学派，吸收了几名姐妹参加。10毕达哥拉斯最喜欢的学生是米洛的女儿，美丽的西诺（Theano）。尽管年龄相差不少，他们最终还是结婚了。
建立兄弟会后不久，毕达哥拉斯撰造了一个名词“哲学家”（philosopher），与此同时规定了他的学派的目标。在一次出席奥林匹亚竞技会时，弗利尤斯（Phlius）的利昂（Leon）王子问毕达哥拉斯他会如何描述他自己，毕达哥拉斯回答道：“我是一个哲学家。”但是利昂以前没有听说过这个词，因而请他解释。
利昂王子，生活正好比这些公开的竞技会。在这里聚集的一大群人中，有些人受奖励物的诱惑而来，另一些人则因对名誉和荣耀的企求和受野心的驱使而来，但他们中间也有少数人来这里是为了观察和理解这里发生的一切。
生活同样如此。有些人因爱好财富而被左右，另一些人因热衷于权力和支配而盲从，但是最优秀的一类人则献身于发现生活本身的意义和目的。他设法揭示自然的奥秘。这就是我称之为哲学家的人。虽然没有一个人在各方面都是很有智慧的，但是他能热爱知识，视其为揭开自然界奥秘的钥匙。
虽然许多人知道毕达哥拉斯的抱负，但兄弟会圈外的人都不知道他成功的详情和程度。该学派的每个成员被迫宣誓永不向外界泄露他们的任何数学发现。甚至在毕达哥拉斯死后，还有一个兄弟会成员因为背弃了誓言而被淹死——他公开宣布发现了一种由12个正五边形构成的新的规则立体：正十二面体。毕达哥拉斯兄弟会的高度秘密性是一些神话故事围绕着他们可能举行过的奇异仪式来展开情节的部分原因；11同样，这也是为什么关于他们的数学成就的可靠记载如此之少的原因。
可以确认的是毕达哥拉斯缔造了一种社会精神，它改变了数学的进程。兄弟会实际上是一个宗教性社团组织。他们崇拜的偶像之一是数，他们相信，通过了解数与数之间的关系，他们能够揭示宇宙的神圣的秘密，使他们自己更接近神。特别是，兄弟会将注意力集中于“计数数”（1，2，3，…）和分数的研究。计数数有时也叫“整数”，它们与分数（整数之间的比）一起可称之为“有理数”。在这无穷多个数中间，兄弟会寻找那些有特殊重要意义的数，其中某些最特殊的数就是所谓的“完满”数。
按照毕达哥拉斯的说法，数的完满取决于它的因数（能整除原数的那些数）。例如：12的因数是1，2，3，4和6。当一个数的各因数之和大于该数本身时，该数称为“盈”数。于是12是一个盈数，因为它的因数加起来等于16。另一方面，当一个数的因数之和小于该数本身时，该数称为“亏”数。所以10是一个亏数，因为它的因数（1，2和5）加起来只等于8。
最有意义和最少见的数是那些其因数之和恰好等于其本身的数，这些数就是完满数。数字6有因数1，2和3，结果它是一个完满数，因为1+2+3=6。下一个完满数是28，因为1+2+4+7+14=28。
如同6和28的完满对兄弟会来说具有数学上的意义一样，12还有从事别的文化的人也确认它们的完满，有人观察到月亮每28天绕地球一圈，有人声称上帝用了6天创造世界。在《天堂》（TheCityofGod）一书中，圣奥古斯丁（St．Augustine）辩说道：“虽然上帝能够在瞬间创造世界，但为了表现天地万物的完满，他还是用了6天。”圣奥古斯丁认为6并不是因为上帝选择了它才是完满的，而恰恰相反，完满是数的性质中固有的：“6是一个数，因其本身而完满，并非因上帝在6天中创造了万物；倒过来说才是真实的——上帝在6天中创造万物是因为这个数是完满的。”
当计数数变得更大时，完满数变得难于寻找。第三个完满数是496，第四个是8128，第五个是33550336，而第六个则是8589869056。除了是它们的因数之和外，毕达哥拉斯还指出所有的完满数显示出另外几个美妙性质。例如，完满数总等于一系列相邻的计数数之和。我们有6=1+2+3，28=1+2+3+4+5+6+7，496=1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+30+31，8128=1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+126+127。
毕达哥拉斯因完满数而欣喜，但他并不满足于只是收集这些特殊的数；相反，他想要发现它们更深层的意义。其中之一，他察觉到完满性与“倍2性”有密切关系。数4（2×2），8（2×2×2），16（2×2×2×2）等称为2的幂，可写成2n，这里n表示相乘在一起的2的个数。13所有这些2的幂刚巧不能成为完满数，因为它们的因数之和总是比它们本身小1。它们只是微亏：
22=2×2=4，因数1，2和=3，23=2×2×2=8，因数1，2，4和=7，24=2×2×2×2=16，因数1，2，4，8和=15，25=2×2×2×2×2=32，因数1，2，4，8，16和=31。
两个世纪之后，欧几里得（Euclid）使毕达哥拉斯发现的“倍2性”和完满性之间的联系更臻精美。欧几里得发现完满数总是两个数的乘积，其中一个数是2的幂，而另一个数则是下一个2的幂减去1。这就是说：
6=21×（22-1），28=22×（23-1），496=24×（25-1），8128=26×（27-1）。
当代的计算机继续搜索完满数，发现了像2216090×（2216090-1）这样巨大的数的例子，这是一个130000位以上的数，它仍符合欧几里得法则。
毕达哥拉斯为完满数具有的丰富的模式和性质所吸引，他赞赏它们的精妙。初看之下，完满性是相当容易掌握的概念，然而古希腊人并未能探知这个问题中的某些基本要点。例如，虽然有许多数的因数之和只比该数本身小1，即只是微亏，但似乎不存在微盈的数。14令人沮丧的是，虽然他们没有发现微盈的数，却不能证明这种数不存在。只知道表面上没有微盈的数是没有任何实际价值的；但尽管如此，它却是一个可能启示这种数的性质的问题，因而值得研究。这样的谜引起了毕达哥拉斯兄弟会的兴趣，但2500年后数学家们仍然未能证明微盈数不存在。
凡物皆数
除了研究数之间的关系之外，数与自然之间的关系也引起了毕达哥拉斯的兴趣。他认识到自然现象是由规律支配的，这些规律可以用数学方程式来描述。他首先发现的联系之一是音乐的和声与数的调和之间的基本关系。
古希腊早期的音乐中最重要的乐器是四弦琴，或者叫四弦里拉。在毕达哥拉斯之前，音乐家们就注意到当几个特定的音一起发声时会产生悦耳的效果，他们调里拉的音直到齐拨两根弦时会产生这种和声为止。然而，早先的音乐家并不理解为什么特定的几个音会是和谐的，乐器调音也没有客观的方法。他们纯粹凭耳朵来调里拉的音，直到处于和声状态为止——柏拉图（Plato）称这个过程为折磨弦轴。
公元4世纪时的学者扬勃里柯斯（Iamblichus）写过9本关于毕达哥拉斯学派的书，他描述了毕达哥拉斯怎么会发现音乐和声的基本原理的：
一次，15他全神贯注地思考着他是否能够设计出一种既可信又精巧的听觉方面的机械辅助物。这种辅助物要类似于圆规、直尺和为视觉方面设计的光学器具。同样地，触觉方面有秤以及关于重量和量度的概念。真是天赐好运，他碰巧走过一个铁匠铺，除了一片混杂的声响外，他听到了锤子敲打着铁块，发出多彩的和声在其间回响。
按照扬勃里柯斯的描写，毕达哥拉斯立即跑进铁匠铺去研究锤子的和声。他注意到，大多数锤子可以同时敲打而产生和谐的声响，而当加入某一把锤子一起敲打时总是产生令人不快的噪声。他对锤子进行分析，认识到那些彼此间音调和谐的锤子有一种简单的数学关系——它们的质量彼此之间成简单比，或者说简分数。就是说，那些重量等于某一把锤子重量的1/2，1／3或1／4的锤子都能产生和谐的声响。另一方面，那把和任何别的锤子一起敲打时总发出噪声的锤子，它的重量和别的锤子的重量之间不存在简比关系。
毕达哥拉斯已经发现数值的简比在音乐的和声中起决定作用。科学家们对扬勃里柯斯关于这个故事的描述表示某种怀疑，但是毕达哥拉斯通过研究单弦的性质将他关于乐声比的新理论应用于里拉这种乐器这件事是确确实实的。单单拨弦会产生一个标准音，它是由那根振动着的弦的整个长度产生的。如图1所示，17通过将弦在其长度的图1一根自由振动的空弦产生一个基音。设法在弦上正好一半处形成一个节，那么产生的音则是与原来的基音和谐的高八度的音。通过移动节的位置至弦上不同的简分数距离（例如1／3，1／4，1／5）处，可以产生不同的和音。
某处固定，就可能产生不同的振动和不同的音。关键之处在于和音只在非常特殊的一些位置上出现。例如，在弦上恰为一半处固定弦，再拨弦会产生一个与原来的音和谐的高八度的音。类似地，在弦上恰为1/3，1/4或1/5处固定弦，就会产生其他的和音。然而，如果在整个弦的长度的非简分数处固定弦，那么产生的音是不会与上述这些音和谐的。
毕达哥拉斯首次发现了支配物理现象的数学法则，显示了数学与其他科学之间有着根本的关联。从这个发现以后，科学家们一直在探究那些似乎支配着各个物理过程的数学法则，并且发现数会意外地出现在各种各样的自然现象中。例如，一个特殊的数似乎操纵着弯弯曲曲的河流的长度。剑桥大学的地球科学家汉斯-亨利克·斯多勒姆（HansHenrikStolum）教授计算了从河源头到河出口之间河流的实际长度与它们的直接距离之比。虽然这一比率因不同的河流而变化，但是它们的平均值只比3略微大一点，也就是说大致上是直接距离的3倍。事实上，这个比近似等于3．14，接近于数π的值，即圆的周长与直径之比。
数π原本来自圆的几何学，但它还反复出现在各种各样的科学现象中。在河长比的情形中，π的出现是有序与紊乱相争的结果。爱因斯坦（Einstein）第一个提出，河流有一种走出更多的环形路径的倾向，这是因为最细微的弯曲就会使外侧的水流变快，18这反过来造成对河岸更大的侵蚀和更急剧的转弯。转弯越急剧，外侧的水流就越快，侵蚀也就越大，于是河流更为曲折……然而，有一个自然的进程会中止这种紊乱：渐增的绕圈状态的结果将是河流绕回原处而最终短路。河流将变得比较平直，而环路被放弃，形成一个U字形湖。这两种相反的因素之间的平衡导致河流从源头到出口之间的实际长度与直接距离之比的平均值为π。对于那些在坡度很小的平原上穿越的河流，诸如在巴西和西伯利亚冻土带可以找到的那些河流，这个比为π是极常见的。
毕达哥拉斯意识到从音乐的和声到行星的轨道，一切事物中皆藏有数。这导致他宣布“凡物皆数”（Everythingisnumber）。通过探究数学的内涵，毕达哥拉斯发展着使他和其他人能描述宇宙性质的这种语言。此后，数学上的每一次突破都会给科学家们带来为了更好地解释他们周围的现象而需要的词汇。事实上，数学的进展会唤起科学的革命。
除了发现引力定律外，艾萨克·牛顿（IsaacNewton）也是个数学家。他对数学的最大贡献是对微积分的发展。在稍后的年代里，物理学家使用微积分的语言来更好地描述引力定律和解决引力论问题。牛顿的经典引力论幸存了几个世纪未受触动，直到它被阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论所替代；广义相对论对引力作出了更详细的、19新的解释。只是由于新的数学概念为他提供了更精妙的语言来表达他的极复杂的科学思想，爱因斯坦本人的思想才可能形成。今天，对引力的解释再一次被数学的突破所影响。最新的量子引力理论和数学中的“弦”的发展密不可分，在弦这种理论中“管”的几何和拓扑性质似乎最好地解释了各种自然力。
在毕达哥拉斯兄弟会研究的数与自然之间的所有关系之中，最重要的是以他们的奠基者的名字命名的那个关系。毕达哥拉斯定理为我们提供了一个方程，它对一切直角三角形都成立，因而它也定义了直角三角形本身。接着，直角定义垂直，即竖直与水平的关系；最后定义我们熟悉的宇宙的三维之间的关系。数学（利用直角）定义了我们生活着的空间的结构。
它是一种深刻的了解，但是为掌握毕达哥拉斯定理所需的数学则是相对简单的。为了理解它，20就从测量直角三角形两条短的边的长度（x和y）开始，然后将它们各自加以平方（x2，y2）。那么这两个平方数加起来（x2+y2）就给你一个最终数。如果你对图2中的直角三角形算出这个数，那么答案是25。
你现在可以测量那条最长的边z（所谓的斜边），将它的长度平方一下。引人注目的结果是这个数z2与你刚才算出的那个数完全相同，即52=25。这就是说：
x=3，y=4，z=5
x2+y2=z2
9+16=25
在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。
换句话说（或者说换个记法）：
x2+y2=z2。
显然这很符合图2中的三角形的情况，但出乎意外的是毕达哥拉斯定理对每一个任意画出的直角三角形都是对的。它是数学中一条普遍的定律。无论何时你遇到任何一个有一个直角的三角形时，你都可以应用它。反过来，如果你有一个符合毕达哥拉斯定理的三角形，那么你可以绝对地相信它是一个直角三角形。
虽然这个定理将永远与毕达哥拉斯联系在一起，但中国人和巴比伦人实际上使用这个定理还要早1000年。在这方面，注意到这一点是重要的。然而，这些文明并不知道这个定理对一切直角三角形都是对的。对于他们测试的三角形而言，它肯定是对的，但是他们无法证明它对于他们尚未测试的所有直角三角形都是对的。这个定理归属于毕达哥拉斯的理由是他第一个证明了它的普遍正确。
