但是毕达哥拉斯怎样知道这个定理对于每一个直角三角形都是对的呢？21他不可能期望测试无限个不同的直角三角形，然而他仍然百分之百地确信这个定理绝对正确。使他有这种信念的理由是数学证明了这个概念。寻找一个数学证明就是寻找一种认识，这种认识比任何别的训练所积累的认识都更不容置疑。最近2500年以来，驱使着数学家们的正是这种以证明的方法发现最终真理的欲望。
绝对的证明费马大定理的故事以寻找遗失的证明为中心。数学证明比我们在日常用语中非正式使用的证明概念，甚至比物理学家或化学家所理解的证明概念都远为有力和严格。科学证明和数学证明之间的差别既是极细微的，又是很深奥的。这种差别是理解自毕达哥拉斯以来每个数学家的工作的关键点。
经典的数学证明的办法是从一系列公理、陈述出发，这些陈述有些可以是假定为真的，有些则是显然真的；然后通过逻辑论证，一步接一步，最后就可能得到某个结论。如果公理是正确的，逻辑也无缺陷，那么得到的结论将是不可否定的。这个结论就是一个定理。
数学证明依靠这个逻辑过程，而且一经证明就永远是对的。数学证明是绝对的。为了正确地判断这种证明的价值，应该将它们与比其差一些的同类证明，即科学证明做一比较。在科学中，一个假设被提出来用以解释某一物理现象。22如果对物理现象的观察结果与这个假设相符，这就成为这个假设成立的证据。进一步，这个假设应该不仅能描述已知的现象，而且能预言其他现象的结果。可以做实验来测试这个假设的预言能力，如果它再次继续成功，那么就有更多的证据支持这个假设。最终，证据的数量可能达到压倒性的程度，于是这个假设被接受为一个科学理论。
科学理论的证明永远不可能达到数学定理的证明所具有的绝对程度：它仅仅是根据已得到的证据被认为是非常可能的。所谓的科学证明依赖于观察和理解力，这两者是容易出错的，并且仅仅提供了近似于真理的概念。正如伯特兰·罗素（BertrandRussell）指出的：“虽然这有点像是悖论，然而所有的精确科学都被近似性这个观念支配着。”甚至被人们最为普遍地接受的科学“证明”中也总有着一点儿可疑成分。有时候，这种怀疑会减少，尽管它永远不会完全消失；而在另一些场合，这种证明最终会被证实是错的。科学证明中的这个弱点导致用一种新的理论替代原来曾被认为是正确的理论的科学革命，这种新理论可能只是原有理论的进一步深化，也可能与原有理论完全相反。
例如，对物质的基本粒子的探索使得每一代的物理学家推翻，或者至少是重新推敲他们前辈的理论。近代对构成天地万物的基本材料的研究开始于19世纪初，当时一系列的实验引导约翰·道尔顿（JohnDalton）提出万物都是由分离的原子组成的，原子是基本的。在19世纪末，J.J.汤姆生（J.J.Thomson）发现了电子（最早知道的亚原子），23于是原子不再是基本的。
在20世纪早期，物理学家拍摄到了原子的“全家”照——一个由质子和中子组成的原子核，电子围绕着它运行。质子、中子和电子被荣耀地宣称为组成宇宙万物的全部基本粒子。以后，宇宙射线实验显示了别的基本粒子——π介子和μ介子的存在。随着1932年反物质——反质子、反中子、反电子等的发现，一场更伟大的革命发生了。这一次，物理学家们不能肯定有多少种不同的粒子存在，但是他们至少相信这些粒子真的是基本的了。直到20世纪60年代，又诞生了夸克的概念。质子本身表观上由分数电荷的夸克组成，中子、介子和μ介子也是这样。这段故事的寓意是：即使不是完全抹掉重新再来，物理学家们也是在不断地修改着他们对宇宙的构想。在未来的十年中，那种把粒子作为点样对象的观念甚至可能被作为弦的粒子观念所替代——这里的弦与可能最好地解释引力的弦是相同的。这种理论说，长度为1米的10亿分之一的10亿分之一的10亿分之一的10亿分之一的弦（如此小，结果它们似乎是点样的）能以不同的方式振动，每种振动产生特定的粒子。这类似于毕达哥拉斯的发现：里拉上的一根弦能发出不同的音，这取决于它怎样振动。
科幻小说作家和未来学家阿瑟·C.克拉克（ArthurC．Clarke）曾这样写道：如果一个有名望的教授说某事毫无疑问是正确的，那么有可能下一天它就被证明是错误的。科学证明不可避免变化不定和假冒。另一方面，数学证明是绝对的，无可怀疑的。24毕达哥拉斯至死仍坚信他的这个在公元前500年是对的定理将永远是对的。
科学是按照评判系统来运转的。如果有足够多的证据证明一个理论“摆脱了一切合理的怀疑”，那么这个理论就被认为是对的。在另一方面，数学不依赖于来自容易出错的实验的证据，它立足于不会出错的逻辑。这一点可用图3中画出的“缺损棋盘”问题来说明。
图3缺损棋盘问题。
我们有一张移走两个对角方块的棋盘，它只剩下62个方块。现在我们取31张多米诺骨牌，每一张骨牌恰好能覆盖住2个方块。25要问的是：是否可能将这31张多米诺骨牌摆得使它们覆盖住棋盘上的62个方块？
对这个问题有两种处理方法：
（1）科学的处理
科学家将试图通过试验来解答这个问题，在试过几十种摆法后会发现都失败了。最终，科学家相信有足够的证据说棋盘不能被覆盖。然而，科学家永远也不能肯定确实是这种情形，因为可能有某种还没有试过的摆法却能获得成功。摆法有几百万种，只可能尝试其中的一小部分。“这个覆盖不可能做到”的结论是一种基于试验得出的结论，而科学家将不得不承认有这种前景：某天这个理论可能被推翻。
（2）数学的处理
数学家试图通过逻辑论证来回答这个问题，这种论证将推导出无可怀疑地正确并且永远不会引起争议的结论。下面就是一个这样的论证：
棋盘上被移去的两个角都是白色的。于是现在有32个黑方块而只有30个白方块。
每块多米诺骨牌覆盖2个相邻的方块，而相邻方块的颜色总是不同的，即1块黑色和1块白色。
于是，不管如何摆骨牌，最先放在棋盘上的30张多米诺骨牌必定覆盖30个白色方块和30个黑色方块。
结果，26总是留给你1张多米诺骨牌和2个剩下的黑色方块。
但是，请记住每张多米诺骨牌覆盖2个相邻的方块，而相邻方块的颜色是不同的。可是这2个剩下的方块颜色是相同的，所以它们不可能被剩下的1张多米诺骨牌覆盖。于是，覆盖这棋盘是不可能的！
这个证明表明，多米诺骨牌的每一种可能的摆法都无法覆盖这个缺损的棋盘。类似地，毕达哥拉斯构造了一个证明，这个证明表明每一个可能的直角三角形都服从他的定理。对毕达哥拉斯来说，数学证明的观念是神圣的。正是证明使兄弟会能发现如此众多的结果。大多数现代的证明都惊人地复杂，对外行来说，要了解其中的逻辑几乎是不可能的。但幸运的是，毕达哥拉斯定理的论证是相对容易的，仅仅使用了高中的数学。附录1概要地叙述了这个证明。
毕达哥拉斯的证明是无可辩驳的，它表明他的定理对世界上一切直角三角形都是对的。这个发现是如此重要以致人们用一百头公牛作为祭品来表示对诸神的感恩。这个发现是数学史上的一个里程碑和文明史上最重要的突破之一。它有两方面的重要意义。首先，它发展了证明的思想。一个被证明了的数学结果具有比任何别的真理更可靠的真实性，因为它是一步接一步的逻辑结果。虽然哲学家泰勒斯（Thales）已经开创了某种朴素的几何证明，但毕达哥拉斯大大推进了这种思想，他能够证明深奥得多的数学结果。毕达哥拉斯定理的第二个重要性是将抽象的数学方法与有形的实体结合起来了。27毕达哥拉斯向人们展示了数学的真理可以应用于科学世界并为其提供逻辑基础。数学赋予科学一个严密的开端，在这个绝对不会出错的基础上科学家再添加上不精确的测量和有缺陷的观察。
三元组的无限性
毕达哥拉斯兄弟会采用证明的方法积极地寻求真理，使得数学活跃起来。他们成功的消息广为流传，但与他们的发现有关的详情却依然是一个严守的秘密。许多人请求进入这个神秘的知识圣殿，但是只有最杰出的智者才被接纳。被拒绝的人中有一个名叫西隆（Cylon）的人。西隆对自己被丢脸地拒绝这事一直耿耿于怀，20年后他进行了报复。
