直到16岁伽罗瓦才被准许读他的第一门数学课程。在他的老师们看来，这门课使他从一个循规蹈矩的小学生转变为一个难以驾驭的学生。他的学业报告单表明，他对所有别的课程都不重视，而单单专心致志于他新找到的这门心爱的学科：
该生只宜在数学的最高领域中工作。这个孩子完全陷入了对数学的狂热之中。我认为，如果他的父母允许他除了数学不再学习任何东西，将对他是最有好处的。否则，他将在这里浪费时间，并且他所做的只是使他的教师们痛苦，而他自己则会被惩罚压垮。
伽罗瓦对数学的渴求立即超出了他的老师的能力范围，因此，他直接向当代大师们写的最新着作学习。他迅速地汲取那些最复杂的思想，236到17岁时就在《热尔岗年刊》（AnnalesdeGergonne）上发表了他的第一篇论文。对于这位奇才，前面的道路似乎是畅通的，除非他自己杰出的才华成为他进步的最大障碍。虽然伽罗瓦懂得的数学显然足以通过皇家中学的考试要求，但他的解答却常常是很富有创新精神的和精妙的，以至于他的考官们赏识不了。使事情变得更糟的是伽罗瓦把大量的演算放在他的头脑里进行，而不屑于在纸上把论证写清楚，因而使平庸的考官们更为茫然不知所措和沮丧。
他脾气急躁和鲁莽，使他不被他的老师和碰到他的任何人喜欢，而这位年轻人的天资却无助于改变这种状况。当伽罗瓦报考综合工科学校这所全国最有声望的学院时，他在口试时不愿做解释，并显得无礼，结果没被录取。伽罗瓦极其渴望进入这所学校，不只是因为它的学术水平高，而且还由于它享有共和主义者活动中心的名声。1年以后他重新报考，不料他在口试时逻辑上的跳跃又使他的考官迪内特（Dinet）先生感到困惑。由于意识到自己将遭到第二次失败，以及对自己的才华未被认可感到沮丧，伽罗瓦大发脾气，把一块黑板擦掷向迪内特，直接击中了他。伽罗瓦从此再也没有进入这所综合工科学校的圣殿。
伽罗瓦并未被这两次拒绝吓倒，仍然相信自己的数学才能，继续进行他独立的研究。他主要的兴趣在于寻求方程的解，例如二次方程的解。二次方程的形式为ax2+bx+c=0，这里a，b，c可取任何值。
任务是找出x的值使得二次方程成立。数学家宁可得到一个求解公式而不愿意通过反复试验来找解。幸运的是这种公式是存在的：
x=-b±b2-4ac2a。
直接将a，b和c的值代入上面的公式，就可算出x的正确值。例如，我们可以应用这个公式来解下面的方程：
2x2-6x+4=0，这里a=2，b=-6，c=4。
将a，b和c的值代入公式，解就是x=1和x=2。
二次方程是被称为多项式的更大的一类方程中的一种。稍微复杂一点类型的多项式是三次方程：
ax3+bx2+cx+d=0。
多出的一项x3增加了复杂性。再加上一项x4，我们就得到高一次的多项式方程，称为四次方程：
ax4+bx3+cx2+dx+e=0。
到19世纪时，数学家们也已得到了用来解三次和四次方程的公式，但还不知道解五次方程ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0的方法。伽罗瓦一心想找出解五次方程的方法，这在当时是一个很重大的挑战。17岁时他已经取得很好的进展，向法国科学院提交了两篇研究论文。被指定审查论文的是奥古斯汀·路易斯·柯西，柯西在许多年后和拉梅就费马大定理的一个最终发现有缺陷的证明发生了争论。柯西为这个年轻人的工作所震惊，他的结论是他值得去角逐科学院的数学大奖。为了取得参赛的资格，这两篇论文还要以专题论文的形式重新提交，所以柯西将它们退回给伽罗瓦并等待他重新提交。
在遭受过综合工科学校的拒绝和他的老师们的批评之后，伽罗瓦的才华即将得到承认，但是在接下来的3年中，一系列个人的和事业上的悲剧严重打击了他的雄心壮志。1829年6月，一个新的耶稣会牧师来到雷纳堡这个小城，伽罗瓦的父亲仍然是那里的市长。这个牧师反对市长对共和主义者的同情，并通过散布旨在中伤他的谣言发动一场将他撤职的运动。特别是，这个诡计多端的牧师利用了尼古拉加布里埃尔·伽罗瓦善作灵巧的韵文的名声。他写了一系列庸俗的嘲弄社区成员的韵文并签上市长的名字。老伽罗瓦不能忍受由此而遭受的羞辱和非难，他认定唯一的能保持名誉的选择就是自杀。
埃瓦里斯特·伽罗瓦回家参加了父亲的葬礼，亲身感受到牧师在小城里制造的分裂。当棺木徐徐下落到墓穴中时，正在主持仪式的耶稣会牧师与市长的支持者（他们认识到确有阴谋在谋害市长）之间爆发了一场混战。239牧师头上被割了一道深长的伤口，混战变成了一场动乱，而棺木被随便地丢进了墓穴。目睹法国教会羞辱和毁灭了他的父亲，反而增强了伽罗瓦对共和主义事业的热情支持。
一回到巴黎，伽罗瓦就赶在参赛截止期限之前将他的研究论文改写成一篇专题论文并送交科学院秘书约瑟夫·傅里叶（JosephFourier），按规定他将把论文再转交审查委员会。伽罗瓦的论文并没有提供五次方程的解法，但是它确实具有远见卓识，包括柯西在内的许多数学家认为它很可能得奖。使伽罗瓦和他的朋友们震惊的是他不仅未能得奖，而且甚至未能正式参赛。傅里叶在评审之前几个星期就去世了，虽然一堆参赛论文被转交给委员会，但伽罗瓦的参赛论文却不在其中。这篇专题论文再也没有找到过，有一份法国杂志记载了这件不公正的事。
去年3月1日之前，伽罗瓦先生将一篇关于求解数值方程的专题论文交给了科学院的秘书。这篇论文应该已入选参加数学大奖的竞赛。它应该得奖，因为它能解决一些拉格朗日未能解决的困难。柯西先生已就这篇论文给予了作者最高赞扬。而结果怎样呢？这篇专题论文被遗失了，而大奖在这位年轻的学者没能参加的情况下颁发了。
伽罗瓦感到他的专题论文是被政治上有偏见的科学院故意丢失的。这个信念一年以后240变得更坚定了，当时科学院拒绝了他投的下一篇稿件，声称“他的论证既不够清楚又没有充分展开，使我们不能判断它是否严密”。他认为存在着一个要将他排除出数学界的阴谋，这种想法的后果是他放松了自己的研究工作而去从事支持共和主义事业的斗争。这时他是声望稍低于综合工科学校的高等师范学校的学生，在高等师范学校，伽罗瓦作为闹事者的坏名声超过了他作为数学家的名声。在1830年七月革命期间这一表现达到了顶点，当时查理十世逃离法国，各个政治派别展开了对巴黎街区控制权的争夺。高等师范学校的校长吉尼约特（Guigniault）先生是一个君主制度的拥护者，他意识到他的大多数学生是激进的共和主义者，所以不准他们离开宿合并关闭了学院的大门，这样伽罗瓦就无法与他的弟兄们一起进行战斗。当共和主义者最终被击败时，他的愤怒和受挫感交织在一起。在机会到来时，他发表了一通严厉攻击校长的言论，指责他的懦弱和胆怯。不出人们所料，吉尼约特开除了这个不听话的学生。伽罗瓦正式的数学生涯就到此结束了。
12月4日，这位受挫的天才参加了国民警卫队的炮兵部队，试图成为一名职业反叛者。国民警卫队是共和主义者的民兵组织，被称为“人民之友”。12月底，新国王路易·菲利普担心有新的叛乱，就取消了国民警卫队的炮兵部队。伽罗瓦处于贫困和无家可归的状态。全巴黎最杰出的年轻天才正处处遭受困扰和迫害，这使得他以前的一些数学界同行越来越担心他的境况。索菲·热尔曼是241当时法国数学界的一位不抛头露面的年长的女活动家，她向利布里卡鲁奇伯爵家的朋友表达了她的关心：
确实发生了一场使每一个接触数学的人都担心的灾难。傅里叶先生的逝世对这个学生伽罗瓦是个致命的打击，尽管他桀骜不驯，但他的确显示了有目共睹的聪明才智。他已经被高等师范学校开除，他身无分文，他的母亲也几乎没有钱财，他却不改他得罪人的习性。大家说他会彻底地疯狂，我担心真的会这样。
只要伽罗瓦对政治的激情继续不减，他的命运就会进一步恶化，这是不可避免的。这个事实有法国大作家小仲马的记录佐证。当时小仲马在一家名叫“勃艮第葡萄”的饭店里碰巧遇上了为庆贺19名共和主义者被宣告阴谋活动罪名不成立而举行的庆祝宴会：
突然，在我和旁边的人进行私下谈话中间，路易·菲利普的名字夹着五六声唿哨声传入我的耳朵。我往四下一看，在离我15个到20个座位远的地方正发生着极为生动的一幕。在巴黎要找到200个比那些在午后5点聚在这家饭店花园底层长廊里的人们更敌视政府的人大概是非常困难的。
一个一只手同时高举杯子和一把出鞘短剑的年轻人正力图使人们听清他的话——埃瓦里斯特·伽罗瓦是最激进的共和主义者之一。嘈杂声如此强烈以致丝毫也听不清他在讲些什么。我能察觉到的是这里有一种威胁，并且提到路易·菲利普的名字：那把出鞘短剑使意图变得十分清楚。
这已不是我自己的共和主义者观点所能接受的。我向我左边的邻座的催促作了让步，他是国王的一位喜剧演员，242不想被连累。我们越过窗台跳进花园。我有点忧心忡忡地回到家里。很清楚这场闹剧会自食其果的。事实上，两三天后埃瓦里斯特被逮捕了。
在圣佩拉吉监狱被扣押一个月后，伽罗瓦被控犯有威胁国王生命罪而受审。虽然根据他的行为几乎毫无争议伽罗瓦是有罪的，但当时宴会喧闹的环境意味着没有人能真正地确认他们听到他发出过任何直接的威胁，富有同情心的陪审团和反叛者未成熟的年龄——他还只有20岁——使伽罗瓦最终被无罪释放。然而次月他再一次被捕。
在1831年7月14日的巴士底日，伽罗瓦穿着已被查禁的炮兵警卫队制服在巴黎游行。尽管这仅仅是表示一种蔑视，他还是被判处6个月的监禁，回到了圣佩拉吉监狱。在此后的几个月中，这个绝对戒酒的年轻人在其周围的无赖们的教唆下开始喝酒。因拒绝接受路易·菲利普授予的荣誉十字勋章而被囚禁的植物学家、激进的共和主义者弗朗索瓦·拉斯帕伊（FranoisRaspail）记述了伽罗瓦第一次喝酒的经过：
他抓住小酒杯，就像苏格拉底充满勇气地拿起提炼出来的毒药一样，一口把酒全部吞下，眼也不眨一下，也没有任何苦相。第二杯一点也不比第一杯难就空了，接着是第三杯。这个第一次喝酒的年轻人开始摇摇晃晃起来。成功了!向狱中的巴古科斯酒神狄俄尼索斯的别名。——译者致敬!你终于灌醉了一个机灵聪明的灵魂，他在恐怖中接纳了酒。
一星期后，一个狙击手从监狱对面的屋顶层向牢房开了一枪，击伤了伽罗瓦隔壁的人。243而伽罗瓦相信这颗子弹本来是朝他打的，政府有阴谋要杀死他。对政治迫害的担忧使他惊恐不安，与亲朋的分离以及他的数学成果遭到拒绝使他陷于抑郁的状态。在一次喝醉后神志不清时他企图自戕，但拉斯帕依和其他人设法制止了他并说服他放弃了自杀的念头。拉斯帕依回忆起就在试图自杀前片刻伽罗瓦说的话：
你知道我缺少什么吗？我的朋友，我只把它告诉你一个人：他是我最爱的但只能在精神上爱的一个人。我已经失去了我的父亲，再也没有人能代替他。你在听我讲吗……在1832年3月伽罗瓦刑满前一个月，一场传染病霍乱在巴黎蔓延开来，圣佩拉吉的囚犯们被放了出来。对此后几个星期内伽罗瓦做了些什么，人们长期来一直在探究，不过可以肯定的是这段时期里的事件主要与一位神秘女性的风流韵事有关，她就是来自莫泰尔的斯特凡妮费利西安·波特林（StéphanieFéliciePoterine），一位受尊敬的巴黎医生的女儿。虽然关于这件事怎么开始的没有任何线索可查，但是有关这个事件的悲剧性结局的细节却有完备的文字记录。
斯特凡妮已经和一个名叫佩舍·德埃比维尔（Pescheuxd’Herbinville）的绅士订婚。德埃比维尔发现了未婚妻的不忠，非常愤怒，作为法国一名最好的枪手，他毫不犹豫地立即向伽罗瓦挑战，在拂晓时分进行决斗。伽罗瓦很清楚他的挑战者的名声。在决斗的前一晚，他相信这是他把他的思想写在纸上的最后机会了，就给他的朋友写信解释了他的处境：
我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。
我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者245的牺牲品而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。噢!为什么要为这么微不足道，这么可鄙的事去死呢？我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避免的挑衅中倒下。
尽管献身于共和主义事业并牵涉到风流韵事，伽罗瓦始终保持着对数学的爱好。他最担心的一件事是，他的已被科学院拒绝过的研究成果会永远消失。他彻夜工作，写出了所有的定理，绝望地试图使它们得到承认，他相信这些定理全面地阐明了有关五次方程的疑难之处。图22展示了伽罗瓦写的一些最后的手稿，纸上绝大部分是他的已经投交给柯西和傅里叶的那些研究成果的简要叙述，但是在复杂的代数式中不时地可以看到隐藏于其间的“斯特凡妮”或“一个女人”等字迹以及绝望的感叹——“我没有时间了，我没有时间了!”在夜尽时分，他的演算完成了。他写了一封对这些作一说明的信给他的朋友奥古斯特·谢瓦利埃（AugusteChevalier），请求道，如果他死了，就把这些论文分送给欧洲最杰出的一些数学家。
我亲爱的朋友：
我已经得到分析学方面的一些新发现。第一个涉及五次方程的理论，其余的则涉及整函数。
在方程的理论方面，我已经研究了用根式解方程的可解性条件，这使我有机会深化这个理论，并刻画对一个方程可能施行的所有变换，即使它不是可用根式来解的。所有的这方面的工作可以在三篇专题论文中找到……在我的一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里形成1年多了，247我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。
