请公开请求雅可比（CarlJacobi）雅可比（1804-1851），德国数学家。——译者或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有益处的一件事。
热烈地拥抱你
E.伽罗瓦
第二天，也就是1832年5月30日（星期三）的早晨，伽罗瓦和德埃比维尔面对面站在一块偏僻的田野里，两人相距25步远，都带着手枪。德埃比维尔有一个同伴，而伽罗瓦只是孤身一人。他没有将他的决斗告诉任何人：他派出的给他兄弟阿尔弗雷德（Alfred）送信的信使不可能将这个消息在决斗结束之前送到，而他的朋友几天之后才会收到昨天夜里他写的信。
手枪举了起来，接着是射击。德埃比维尔仍然站着，伽罗瓦却腹部中弹。他无望地倒在地上，没有人来帮助他。没有外科医生在场，而胜利者则悄然离去，听任受伤的对手死去。几个小时后阿尔弗雷德到达现场，把他的兄弟送进了柯庆医院。不过为时已晚，腹膜炎已经形成，第二天伽罗瓦就死了。
他的葬礼几乎与他父亲的葬礼一样是一场闹剧。治安当局相信它将是一次政治集会的中心，在前一晚逮捕了30个他的同志。尽管如此，还是有两千多共和主义者参加了葬礼，在伽罗瓦的伙伴们和赶来控制局势的政府人员之间最终爆发了一场混战。
送葬的人群非常愤怒，因为大家越来越相信德埃比维尔并不真是一个戴绿帽子的未婚夫，而只是政府的一个特务；斯特凡妮也不是一个真正的情人，而是一个248狡诈的勾引男人的女人。诸如伽罗瓦在圣佩拉吉监狱时有人朝他开枪这样的一些事情，已经暗示有一个暗杀这个年轻闹事者的阴谋存在。因而，他的朋友们得出结论：他因受骗而堕入风流韵事之中，而那是一个意图置他于死地的政治阴谋的一部分。历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨的爱情事件的结局还是出于政治动机，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了，他研究数学才只有5年。
在分送伽罗瓦的论文之前，他的兄弟和奥古斯特·谢瓦利埃将它们重写了一遍，目的是把那些解释整理清楚。伽罗瓦阐述他的思想时总是急于求成，不够充分，这种习性无疑会因他只有一个晚上的时间来概要叙述他多年的研究而更为严重。虽然他们很尽职地将论文抄本送交卡尔·高斯、卡尔·雅可比和其他一些人，但此后10多年，直到约瑟夫·刘维尔（JosephLiouville）在1846年得到一份之前，伽罗瓦的工作一直未得到承认。刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义。最后他将这些论文编辑发表在他的极有影响的《纯粹与应用数学杂志》(JournaldeMathématiquespuresetappliquées)上。其他的数学家对此作出了迅速和巨大的反响，因为事实上伽罗瓦已经对如何去寻找五次方程的解作了完整透彻的叙述。首先，伽罗瓦将所有的五次方程分成两类：可解的和不可解的。然后，对可解的那类方程，他设计了寻找解的方法。此外，伽罗瓦探讨了高于五次的，包括x6，x7等在内的高次方程，并且能够判定它们中哪些是可解的。这是19世纪数学中由一位它的最悲惨的英雄创造的一件杰作。
在对论文的介绍中，刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他249的长辈们拒绝，以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意做了反思：
过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做。事实上，当你试图引导读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡尔说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰。”伽罗瓦太不把这条箴言放在心上，而我们可以理解，这些杰出的数学家想必认为，通过他们审慎的忠告所表现的苛刻，设法使这个充满才华但尚无经验的初出茅庐者转回到正确的轨道上来是合适的。他们苛评的这位作者，在他们看来是勤奋和富有进取心的，他可以从他们的忠告中获益。
但是现在一切都改变了，伽罗瓦再也回不来了!我们不要再过分地作无用的批评，让我们把缺憾抛开，找一找有价值的东西……我的热心得到了好报。在填补了一些细小的缺陷后，我看出了伽罗瓦用来证明这个美妙的定理的方法是完全正确的，在那个瞬间，我体验到一种强烈的愉悦。
推倒第一块多米诺骨牌
伽罗瓦的演算中的核心部分是称为“群论”的思想，他将这种思想发展成一种能攻克以前无法解决的问题的有力工具。从数学上来说，一个群是一些元素的一个集合，这些元素可以使用某种运算（例如加法或乘法）结合起来，并且这种250运算满足某些条件。用来定义群的一个重要性质是：当它的任何两个元素用这种运算结合时，其结果仍是群中的一个元素。这个群被称为在该运算下是封闭的。
例如，整数在“加法”运算下构成一个群。一个整数和另一个整数在加法运算下得出第三个整数，例如4+12=16在加法运算下所有可能的结果仍在整数中间，因此数学家们说“整数在加法下是封闭的”或“整数在加法下构成一个群”。另一方面，在“除法”运算下，整数不构成一个群，因为一个整数被另一个整数除不一定得出整数，例如，4÷12=13，分数13不是一个整数，不在原来的群之中。然而，如果考虑更大一些的包括分数在内的群，即所谓的有理数，那么封闭性可以重新获得：“有理数在除法下是封闭的”。在这样说的时候，仍然需要很当心，因为用元素零去除的时候结果成为无穷大，这是数学中害怕出现的结果。由于这个原因，更正确的说法是：“有理数（除了零以外）在除法下是封闭的”。在许多方面，封闭性类似于前面几章中描述过的完全性。
整数和分数构成有无限多个元素的群，人们可能会认为，群越大，它产生的数学就越有趣。然而，伽罗瓦持有“少即多”的哲学观，他证明小的、精细地构造起来251的群可以显示出它们独有的丰富内涵。不利用那些无限群，伽罗瓦反过来从一个具体的方程着手，用这个方程的为数不多的解来构造他的群。正是这个由五次方程的解构造的群，使得伽罗瓦能够推导出他关于这些方程的结果。一个半世纪以后，怀尔斯将利用伽罗瓦的工作作为他证明谷山志村猜想的基础。
为了证明谷山志村猜想，数学家们必须证明：无限多个椭圆方程中的每一个可以和一个模形式相配对。他们曾尝试先证明某一个椭圆方程的全部DNA（即E序列）可以与一个模形式的全部DNA（即M序列）相配，然后他们再转移向下一个椭圆方程。虽然这是一种完全可以想得到的处理方式，但是还没有人找到一种能对无限多个椭圆方程和模形式反复地重复这个过程的方法。
怀尔斯以一种根本不同的方式来对付这个问题。他不去尝试将某个E序列和一个M序列的所有元素配对起来然后再转到下一个E序列和M序列，而是设法使所有的E序列和M序列的某一个元素配对，然后再转到下一个元素。换言之，每一个E序列有一张由无限多个元素组成的表，即由一个个基因组成整个DNA，而怀尔斯想要证明的是每一个E序列中的第一个基因，可以和每一个M序列中的第一个基因配对。然后他将继续去证明，每一个E序列中的第二个基因，可以和每一个M序列中的第二个基因配对，依此类推。
在传统的处理方法中，要处理的是一个无限问题，它就是：即使你能证明某一个E序列的所有元素可以和一个M序列的所有元素配对，但仍然有无限多个其他的E序列和M序列需要去配对。怀尔斯的处理方法仍然涉及对付无限性，因为即使他能证明每一个E序列的第一个基因可以和252每一个模形式的第一个基因配对，仍然有无限多个其他的基因需要去配对。然而，怀尔斯的处理方式较之传统的处理方式有一个很大的优点。
在旧的方法中，一旦你证明了某一个E序列的全部元素与一个M序列的全部元素可以配对，那么你就必须要问：哪一个E序列和M序列是我接着要尝试配对的？这无限多个E序列和M序列并没有自然的次序，因而，接着选择哪一个来处理有很大的任意性。在怀尔斯的方法中，极为关键的是E序列中的基因确实有自然的次序，因而在证明了所有的第一个基因配对（E1=M1）后，下一步显然就是证明所有的第二个基因配对（E2=M2），依此类推。
这种自然的次序恰恰是怀尔斯为建立一个归纳法证明所需要的。一开始他必须证明：每一个E序列的第一个元素可以与每一个M序列的第一个元素配对。然后他必须证明：如果第一个元素可以配对，那么第二个元素也可以配对；如果第二个元素可以配对，那么第三个元素也可以，依此类推。他必须推倒第一块多米诺骨牌，然后他必须证明任何一块倒塌的多米诺骨牌也会推倒自身后面的一块多米诺骨牌。
当怀尔斯认识到伽罗瓦的群的力量时，他实现了第一步。每一个椭圆方程的一小部分解可以用来构成一个群。经过几个月的分析，怀尔斯证明了这个群会导致一个不可否认的结论——每一个E序列的第一个元素确实可以和一个M序列的第一个元素配对。多亏伽罗瓦，怀尔斯已经能推倒第一块多米诺骨牌。他的归纳法证明的下一步要求他找到一个方法来证明：如果E序列的任一个元素和该M序列的对应元素配对，那么下一个元素必定也可以配对。
253达到这个程度已经花去2年的时间，还没有任何迹象表明还需要多少时间才能找到推进证明的方法。怀尔斯很明白他面前的任务：“你可能会问我，怎么能够决心把无法预料其限度的时间投入到一个可能根本无法解决的问题中去。回答是，我就是喜欢研究这个问题，我被迷住了。我乐意用我的智慧与它相斗。此外，我一直认为我正在思考的这种数学，即使它不是有力到足以证明谷山志村猜想，因此也不能证明费马大定理，但是总会证明某些别的东西。我并不是在走向一个偏僻的小胡同，它肯定是一种好的数学，这一直是真的。确实有可能我将永远证明不了费马大定理，但是绝不存在我完全在浪费我的时间这样的问题。”
“费马大定理解决了？”
虽然这仅仅是向着证明谷山志村猜想走出的第一步，怀尔斯的伽罗瓦策略却是一个辉煌的、数学上的突破性工作，本身就值得发表。由于他自己设定的闭关自守做法，他不能够向世界宣布他的结果，但同样他也毫不清楚是否可能有别的什么人也在做同样重要的突破性工作。
怀尔斯回忆起他对任何潜在的竞争对手所持的富有哲理的态度：“真的，显然没有人愿意花几年工夫去尝试解决某个后来发现其他人就在你完成之前几个星期已把它解决了的问题。但是奇怪的是，因为我正在尝试的是一个被认为不可能解决的问题，所以我并不真正地太担心竞争。我简直不认为我或任何别的人会对怎样做这件事有任何切实可行的想法。”
1988年3月8日，怀尔斯读到宣布费马大定理已被证明的头版254标题，大吃一惊。《华盛顿邮报》和《纽约时报》宣称东京大学38岁的宫冈洋一（YoichiMiyaoka）已经发现了这个世界头号难题的解法。当时，宫冈还未发表他的证明，而只是在波恩的马克斯·普朗克数学研究所的一次报告会上描述了它的大概。唐·扎席尔（DonZagier）是听众之一，他总结了数学界的乐观情绪：“宫冈的证明非常令人兴奋，某些人感到有很大可能它是行得通的。它仍然未被肯定，但到目前为止看上去很顺利。”
在波恩，宫冈描述了他怎样从一个全新的角度，即从微分几何学的角度出发来处理这个问题的。几十年来，微分几何学家已经对数学图形的形状，特别是对曲面的性质有了许多了解。在20世纪70年代，S.阿拉基洛夫（S.Arakelov）教授领导的一个俄罗斯数学家小组试图在微分几何学中的问题与数论中的问题之间建立相对应的关系，这是朗兰兹纲领的一个组成部分。他们的希望是，可以通过考察微分几何学中对应的已被解答的问题来解决数论中未解答的问题。这被称为“并行论哲学”。
尝试解决数论中问题的微分几何学家被称为“算术代数几何学家”。1983年，他们宣告了他们的第一个重大胜利，当时普林斯顿高等研究院的格尔德·法尔廷斯（GerdFaltings）对理解费马大定理作出了一个重要的贡献。记得费马声称方程xn+yn=zn，当n＞2时，没有任何整数解。法尔廷斯相信，通过研究与不同的n值相联系255的几何形状，他可以在证明大定理的方向上取得进展。与每一个方程相对应的几何形状是不同的，但是它们确实有一个共同之处——它们都有刺破的洞。这些几何形状是四维的，相当像模形式，图23中显示的是它们中两个的二维视觉形象。所有的这些形状都像多维的硬果，有着几个洞而不止是一个洞。方程中的n的值越大，在对应的形状中洞越多。
法尔廷斯能够证明，由于这些形状总是有一个以上的洞，相联系的费马方程只能有有限多个解。而有限多个数可以是从零个解（这是费马自己断言的），到100万个解或10亿个解中的任一种情况，只要是有限个解都可以，所以法尔廷斯并没有证明费马256大定理，但他至少已经能够排除有无限多个解的可能性。
5年以后，宫冈宣称他更进了一步。他在20岁刚出头时就提出了一个有关所谓的宫冈不等式的猜想。已经清楚的是，他自己的这个几何猜想得到证明，将表明费马方程解的个数将不仅仅是有限的，而只能是零。宫冈的处理方式和怀尔斯的处理方式相似之处在于他们都试图通过把大定理与另一个不同数学领域中的基本猜想联系起来加以证明。这个数学领域在宫冈的情形中是微分几何，而对怀尔斯来说则是椭圆方程和模形式。对于怀尔斯来说不走运的是，在他仍为证明谷山志村猜想而努力时，宫冈宣布了关于他自己的猜想的一个完整的证明，因而也是对费马大定理的一个证明。
