第27章 高考频道(2)

备好课是上好课的前提，充分发挥集体智慧搞好备课是大面积提高复习质量的保证。集体备课的重点是依据“两纲”制定复习的内容和目标，把握复习的深度和广度，确定复习的重点和难点，优化复习的方法和措施，设计复习的例题和练习，集体备课的时间和形式可以根据校情而定，总的原则是灵活多样、不拘一格，重在实效，不流于形式。一般来说，集体备课的模式是：由备课组长提前一周安排备课内容，落实主备人，然后由备课组集体对主备人制定的备课进行审理修订，形成教学案，并发给每一位教师，最后由教师再结合本班的具体情况进行二次备课后再使用。这样的备课，既吸纳了集体智慧，又融入了教师个性特长，其实用性也强。

四、注重课堂

1精选习题

由于科技水平的提高，网络上的高中数学复习题可以说是铺天盖地，再加上各地的模拟试题，数学试题真是成“海”了。如果盲目地选些陈题让学生做，那是浪费学生的时间、精力。在例题、习题的编制上如何选题成为我们备课组的重要工作。根据浙江卷考题的特点，我们在选题上定下这样几个原则：（1）问题是否来源于书本，围绕考纲；（2）问题是否帮助消化和强化概念；（3）问题对学生的思维水平提高是否有益；（4）问题是否蕴含重要的数学思想方法；（5）问题是否有利于变式、拓展、研究？我们从近年浙江高考卷的命题可以发现，浙江卷的试题注重基础，朴实自然，常给我们似曾相识的感觉，但要深入却要有扎实的功底和灵活的思维。这说明浙江卷试题的命题将能力和立意融在基础知识中，不追求怪异、豪华，但思考性很强。浙江卷的命题还有一个特点，就是教材的核心内容与高等数学衔接的内容反复考，如等差数列、等比数列、函数与方程、不等式的综合等问题。因此，我们的选题主要来自于：（1）教材中的原题或改编题；（2）前几届高三积淀下来的传统好题；（3）各地试卷中与浙江卷能融合的试题；（4）自编自创题。

2暴露思维

常听到一些新老师抱怨说：“这个题目我都讲了好几遍了，学生还是做错了。”究其原因，是老师的讲解不到位。很多教师在讲题时，只讲正确的解法，不去分析解题思路，不为学生展现思维过程创造条件，从而掩盖了学生学习中存在的问题，长此以往，问题成堆，高考失分也就不足为奇。因此，在复习中，一定要为学生展现思维过程、暴露错误创造条件。如，多让学生板演解题过程，可使学生存在的问题暴露得一清二楚；多让学生讨论，多让他们讲自己的想法，也能暴露学习的薄弱点，只有这样才能使学生在知错、纠错的过程中达到规范训练的目的。在数学的解题教学中，笔者建议高三老师们要多说这样的几句话：“看到这样的条件你想到了什么？”——题目展示后，老师要引导学生对相关条件进行分析，逐步做到看到什么条件就联想到什么方法与结论，引导学生养成善于审题的习惯。“你是怎样想到的？”——在学生回答问题时，老师不仅要放大学生的声音，有时还要追问学生这样做的原因，暴露其思维过程，给其他学生以示范。“还有别的想法吗？”——一种解法处理完毕后，不要急于进入下一题，要创造一个平台让学生有展示的机会，这样既能做到一题多解，还能发现一些老师自己没有想到的独到解法。“解决此类问题的最佳方法是什么？”——方法多了有时会使学生陷入茫然之中，所以一题多解之后有必要作个点评，指出解决此类问题的通性通法。“这种思路对于本题为何行不通？”——在解题教学中不仅要注重成功解法的总结与提炼，也要对失败的解法进行反思，以养成理性思维的习惯。

高考是学生人生的一次磨砺，也是教师教学成果的体现。“凡事预则立，不预则废”，只要我们从学生实际出发，制订适当的计划与目标，在日常教学中认真落实以上四个关键词，那么通过复习，学生的数学素质必定有较大的提高。

例谈复习课选题的原则

最近，我有幸参加了在浙江衢州二中举行的浙江省高中数学青年教师优质课观摩与评比活动，来自全省的十三位老师的十三节课，教学理念之新、教学方法之先进令人感触颇深。参赛教师“以学生的学为本位”的教学观和“以学生的发展为本位”的价值观，给我以深刻的印象。这种为学生的有效学习服务的理念摈弃了传统的“以教为本位”的教学观和“以书本知识为本位”的价值观，这是加涅所倡导的“为学习设计教学”理念的体现，也是《普通高中数学课程标准（实验）》理念的体现。其中有一个课题是“直线与圆锥曲线的位置关系”的复习课，复习课的选题是一项费时伤神的事，有诸多讲究，下面是获得浙江省优质课一等奖第一名的苏老师在这节复习课上所选的问题：

问题一：已知椭圆C：x24=y22=1和直线l：y=ax+b

（1）请你给出a、b的一组值，使椭圆C和直线l相交？

（2）若椭圆C和直线l相交，求a和b满足什么条件？

椭圆C和直线l相切呢？相离呢？

（3）若a+b=1，直线l和椭圆C有什么样的位置关系？

问题二：已知椭圆C：x24+y22=1和直线l：y=ax+b

若a+b=1，直线l和椭圆C交于A、B两点，（请你添加条件）求直线l的方程。

问题三：若直线l∶y=ax+b和椭圆C：x24+y22=1相切，若p=(a+1,b+2)与q=(1，k)共线，求k的取值范围。

这三个问题选入课堂体现了以下原则。

一、典型性

根舍因“范例教学法”认为：“范例性是就教育者传授的角度来说，教给学生的是经过精选的基本性、基础性的知识，务必能起到示范作用的知识。”量不在多，典型就行；题不在难，有思想就行。该节课所选的问题比较基础，每位学生都觉得很熟悉，它涉及到直线和圆锥曲线位置关系中的有关弦长、中点弦、中点轨迹、所成角等问题，揭示了解析几何中常用的方法以及数形结合思想。

二、梯度性

不同的学生认知水平不同，就是同一学生认知的过程也是由浅入深、由表及里的。根据个体差异和认知规律，在该节复习课中，无论是这几个问题的安排顺序上，还是同一问题的若干小题的设置先后，都遵循由易到难、由简单到复杂的原则，这样做，大部分学生都能找到思考的起点，其学习的积极性、主动性才能得到有效的调动，同时也为学生的思考向纵深发展提供线索或辅平道路。问题一的（1）（2）（3）小题层层递进，问题二是问题一的延伸与拓展，问题二到问题三的过渡又是那么的自然，即从椭圆与直线的位置关系过渡到双曲线与直线的位置关系，真是不留痕迹。

三、开放性

常规的问题，在条件与结论较为明确的情况下，学生只要从因导果或执果索因等常规思路与方法去考虑即可。开放性的问题，条件或结论之一往往未明确给出，让学生根据条件去探索不明确的结论或不唯一的答案，或者由结论去探索未给出的条件。这类问题形式新、入口宽、解法活，这样的问题可以更好地培养学生的创造性思维。在问题二中，学生可以从弦长、中点、定比分点、所成角、面积、距离等等方面入手，探求问题所需的条件。这种开放性的问题，有利于学生去探究，有利于学生去发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。比如学生给出条件是“AB的中点M的坐标为（-1,12）”，大部分学生可以从两种思路求出a，一种是用点差法，α=k=y2-y1x2-x1=1，另一种方法是利用条件a+b=1得出直线y=ax+b过（1，1）点，又因为点M在直线y=ax+b上，所以a=k=1-121+1=14，这样得到了两种不同的结果，那么哪一个是对的呢？到底根源在哪里呢？需要学生去探索、研究、发现。

此外，选题必须具有针对性、综合性、科学性和启发性。

函数中的化归思想

一、设计立意思路

数学教学功能有四个层次，依次是解题术、解题方法、数学思想、数学观念。“解题术”的含义最具体，但功能性弱，如证三点共线、四点共圆的解题术，程序具体，易于复制，但应用面窄；“解题方法”的含义与“解题术”相比较，程序性弱，但功能性强，如反证法、基本量法、分析法、比较法等，程序不十分具体，不易复制，但应用面宽；“数学思想”比较抽象，其程序性更弱，但功能性强，它偏重于对其他两个“层次”的指导，数学思想不仅具有方法论意义，更具有认识论意义，唯有深入到这一层次的数学教学，才是高水平的教学，常用的数学思想有：化归思想、函数与方程思想、分类讨论思想等；“数学观念”则是数学教学这一范畴的最高境界，也是数学素质教育所刻意追求的培养目标，从外形看几乎近于之形，而它又真实存在，不仅存在于解题过程中，也存在于数学学习的过程中；不仅存在于数学学习中，也存在于把什么都归结为一个数学关系的思维模式中，因此，尽管学生离校后没有机会用数学，因而淡忘了数学，但深深存在于他们头脑中的数学思维方法，研究方法等数学精神都随时随地发生作用，受益终身。《考试大纲》指出：对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解，要从学科整体意义和思想价值立意，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想方法的掌握程度，数学思想的教学在数学教学中起着不可替代的作用，转化与化归的思想是最重要、最基本的数学思想，它渗透到所有的数学教学内容和解题过程之中，基于以上的考虑，设计了“函数中的化归思想”这一专题。

二、高考考点回顾

函数是高中数学中的重点内容，是联结和支撑其他数学分支内容的主干知识。函数这部分内容在高考卷中，一般是“二小一大”或“三小一大”的题型格局，小题为选择或填空题，大题为解答题，分值约占17%，即25分左右，试题的特点是灵活性强，联系面广，常常与不等式、三角、数列、导数等知识有机地结合在一起，解答题的难度一般设置在中等以上，主要考查逻辑思维能力及分析和解决问题的能力，能较好地反映考生的理性思维和数学潜能。

三、基础知识梳理

化归思想，就是在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答，其解题过程如图1所示：

用哲学的观点来分析，化归是一种运动，只有在不断的运动中，矛盾才能解决，美国著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中指出：“解题过程就是不断变更题目的过程。”化归就是要求我们换一个角度观察，换一种方式思考，换一种语言叙述，用另一种观点处理问题。历年高考，化归思想无处不在，我们要不断培养和训练学生自觉的化归意识，强化解决数学问题的应变能力，提高思维能力和技能，但是，要实施转化与化归，必须遵循相应的原则，使化归达到应有效果。

1转化目标简单化原则

化归目标简单化原则是指转化应向着目标简单的方向进行，即复杂的待解决问题应向简单的较易解决的问题转化，这里的简单不仅是指问题结构形式上的简单，而且还指问题处理方式、方法上的简单。

2和谐统一性原则

有些问题所涉及的元素多而庞杂或者条件与结论不统一，问题显得复杂。所以，我们应在必要的时候，将目的中的元素统一起来，使问题和谐、简洁。

3具体化原则

化归的具体化原则是指化归的方向一般应由抽象到具体，即分析问题和解决问题时，应着力将问题向较具体的问题转化，以使其中的数量更易把握，如尽可能将抽象的式用具体的形表示；将抽象的语言描述用具体的式或形表示，以使问题中的各种概念及概念之间的相互关系具体明确。

4标准形式化原则

化归的标准化原则是将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归，标准形式是指已经建立起来的数学模式，因为数学从某种意义上来说是关于模式的科学。

四、典型例题讲解

1抽象问题具体化

如在解决抽象函数的问题时，往往需要借助具体函数，通过对符合条件的实例进行剖析然后进行求解，做到抽象问题具体化。

例1（2002年上海市春季高考题）设f（x）是定义在R上的函数，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y，均有f（x+y）=f（x）·f（y）。（1）求f（0）的值；（2）证明：对任意x∈R，都有f（x）＞0；（3）证明：f（x）在R上是增函数。

分析：由于f（x）为抽象函数，故必须寻求感性实例的支撑，由f（x+y）=f（x）·f（y）的结构，不难联想到指数函数f（x）=ax（a＞0，a≠1），又因为当x＞0时，f（x）＞1，得到a＞1，故f（x）=ax（a＞1）是f（x）的一个原型，可以猜想f（0）=1。进而合理赋值，作恒等变形，再运用相关性质去解决问题。

引申：已知x∈R，m为正常数，且等式f（x+m）=3+f(x)1-3f(x)恒成立，问f（x）是否是周期函数；若是，求出它的一个周期，若不是；请说明理由。

2复杂问题简单化

复杂问题常常由简单问题构成的，因此，每遇复杂问题，总是没法将其转化为简单问题来处理，这里所说的简单不仅是问题结构上的简单，还指问题的处理方式或解决方案上的简单。