第13章 伤脑筋问题开窍长智(1)

“抢七十”

苏南一带的家庭里，流行着一种小游戏，叫做“抢三十”。玩法是甲、乙2人轮流数数目，自一开始，每次至少数一个数目，至多数2个数目，以谁先数得30为胜。数目应信口喊出，不可慢慢思索，所以叫“抢三十”。有次我在一本书上看到一个必胜的方法，便去向哥哥挑战。方法是每次让哥哥先说，他数一个数目，我便数2个数目，他数2个数目，我便数1个数目。果然，哥哥是屡战皆败。可是他却并不脸红，反而笑嘻嘻地说：“抢三十太老了，我们来抢七十吧！你要我先说，依旧是我先说好了。”我答应了他，哪知形势就此逆转，每次输的不再是他，反而是我了。后来我又要求更动规则，即每次至多数2个数目，改为每次至多数3个数目（改规则的动机是因为我发觉每次都被他抢去67，于是我就输了），可是结果我还是一次都不赢。我想要战胜哥哥，只有请读者们来代想一个妙法了。

答案：抢30必胜关键，在于每一回合两人所数的数目加起来总是3个，而30又是3的倍数，自然总是后说的人必胜的了。其实不单抢三十，凡是抢一切3的倍数，都是这样。至于70，却是3的倍数多1，所以不可以再让对方先说，应该自己先说，第一次数一个数目，即嘴里喊“1”，以后就如同抢69（3的倍数）一样的办法抢下去，只要照着抢三十的方法，也能必胜。至于规则更改为每次至多3个数之后，就不可能再维持每一回合2人所数数目相加总是3个，只能维持总是4个，即他数一个数目，你便数3个数目；他数2个数目，你也数2个数目；他数3个数目，你便数1个数目；这样，后说的一个人保险能抢到的，不再是3的倍数，而是4的倍数。

而70则是4的倍数多2，所以你也应该抢先说，第一次当然是数两个数即口喊“1、2”，以后就如同抢68（4的倍数），你只留心使每一回合2人所数的数目加起来总是4个，他就没有办法嬴你了。从今天起，假如给你选择先说后说的自由，那么，不管是抢多少，不管每次限数几个数目，你总可以永远取胜了。

巧换水杯

小聪对小明说：“你看这6只水杯，前面3只盛满了水，后面3只是空的。你能想一个办法，只移动一只杯子，就使盛满水的杯子和空杯子间隔起来吗？”小明心想：如果准许两只杯子，把3个盛水的杯子中间的一只和3只空杯子中间的一只交换一下位置，就能使这6个杯子间隔起来了。可是，现在只许动一只杯子，真不好办。小明老老实实地对小聪说：“我不会移。”“你再想想看。”小聪说。小明又想了一会儿，还是想不出来。

你能帮助他解决这个难题吗？答案：只要把3只盛水的杯子中，中间的一只里的水，倒入3只空杯中间的一只里，然后把空杯放回原处就行了。

设岗哨

一个小城镇，有纵横四条马路。你看看，至少要在十字路口设几个岗哨，才能望见所有马路上的情况？答案：至少设四个岗哨。（如下图所示）

聪明的铁匠

铁匠王是李桥镇有名的聪明人。

镇上酒馆的掌柜一直想试一试他的本领。这天，铁匠王来酒馆喝酒。掌柜拿来两壶酒，放在柜台上：“请拿一壶吧！”铁匠王一看，柜台上摆着两把酒壶：一把酒壶是球形的，一个嘴，一个把，下面有3个小爪；另一把酒壶是方柱形的，一个嘴，一个把。铁匠王问：“这两壶酒价钱一样吗？”掌柜笑了笑说：“这两把壶一般大小，是用同样两块马口铁皮做成的，价钱当然一样啦！”铁匠王伸手就端起了那个球形的酒壶。酒馆掌柜暗暗称赞：果然名不虚传。这时，酒馆的酒客们问铁匠王：“为什么你挑这壶酒？”铁匠王“哈哈”一笑：“这壶酒装得多！今天喝上便宜酒啦！”酒客们不信，后来拿这两把酒壶一试，果然不错！球形酒壶的酒比方柱形的酒壶的酒多出两杯，在场的人感到奇怪，铁匠王说：“你们去问酒馆掌柜吧！”答案：这是因为：在表面积相同的情况下，球形有着最大的体积。反过来说，在同体积的所有物体中球形的面积最小。

地主的“善心”

从前，有一个地主叫张善人。他的名字虽叫“善人”，心可比蛇蝎还毒，长工们都叫他“笑面虎”。

快到年关了，笑面虎突然发了“善心”。他对长工张老实讲：“老弟，快过年了，知道你手头挺紧，我把我身边的钱分给你一半吧，你只要付给我1块钱的手续费就行了。”他又对长工王老五、李老四……分别讲了同样的话。10几个长工都分好之后，他手里还剩2块钱。

你知道笑面虎身边一共有多少钱？每个长工得到了多少钱吗？答案：笑面虎身边一共只有2块钱。他分给长工钱之后还剩2块，这2块钱中有1块是他从最后一个长工手里收回的手续费，当他没有收回手续费时，他手中的钱也是1块，这1块钱就是他身边带的总钱数的一半。因此，长工们实际上是一分钱也没得到。

张飞下棋

传说三国时代诸葛亮因见张飞生性粗暴，遇事不爱动脑筋，放心不下，特意设计了一种棋让张飞来下，并通过下棋告诉他只有慎重思考才能百战百胜的道理。

这种棋的棋盘上是个五角星，在这五个角和五个交叉点上有10个摆棋子的位置。他要张飞口里念着“一二三”，手指沿着棋盘的任何一条直线数3点，然后在第3点上摆1个棋子，数的时候第1点和第3点必须是空位子，也不许拐弯；直到10个位置上摆上了9个棋子，只剩一个空位子时，就算胜利结束。

张飞一看玩法这么简单，心中十分不耐烦，抓过棋子就下。他“一二三、一二三！”地连数带下，哪知一连下了三天三夜都没有摆成。最后还是诸葛亮把秘诀告诉他以后才摆成了。

请大家也摆摆看，诸葛亮的秘诀在哪里？答案：诸葛亮的秘诀是：把上一次的第一步，当作这一次的第三步；这次的第一步，当作下一步的第三步……这样摆过9次以后，就摆成了。

国王有多少兵

从前有个国王，带兵去打仗。在出发前，想提高士兵们的作战勇气，来一次检阅。他命令士兵，每排排10人，任何一排不得缺少一个。所有士兵照每排10人排下去，排到最后一排只有9人。这个国王有些迷信，认为最后一排有一个空缺是不吉利的。于是又发布命令，改为每排9人，但排到最后一排，仍缺1人；又改成每排8人，最后一排，仍缺1人；再改7人一排、6人一排……直到2人一排，最后一排始终要缺1人。国王有些急了，认为这次出兵一定要打败仗，因此就不敢动兵。据说，国王的士兵最多不到3000人。但终竟是多少？还得请你算一算。答案：因为每排排10人，最后一排要少1个人，可见国王的兵数要比10的倍数少1个（即是说，如果将兵数加1，就恰好是10的倍数）。同理，知道兵数比9、8、7…2的倍数都少一个，那国王的兵数一定是10、9、8、7…2的公倍数减1，可是10、9、8、7…2的公倍数不只一个，先求它们的最小公倍数，得2520，再减去1，得2519，这个数字没超过3千，符合文中所说的条件。所以国王的兵数只有2519人。

朝山进香

一天清晨，一位信徒怀着十分虔诚的心情到河南少室山朝山进香，山路是那样的崎岖，陡峭，从山下到山上只有独一无二的一条狭径。这位信徒走得非常吃力，走走停停，有时坐下来休息一下，吃点干粮再走。总之，他走路的速度是有快有慢，至于哪段路走得快一点，哪段路走得慢一点，他自己也根本记不清楚了。

他好不容易地走到少室山北麓五乳峰下的少林寺，太阳恰好下山了。这位信徒在寺里住了下来，斋戒沐浴，虔诚朝拜。

信徒在山上住了几天后，又循原路下山。也是从清早出发，在路上也时快时慢，走走停停。

说也真巧，在太阳下山时回到了原来的出发地（即来、回所花的时间一样）。

你能否证明：在这段山路中必定有一个地点，是这位信徒恰好在来、回的过程中，在同一时刻，分别同时经过这一地点的。

你看了这道题，可能会感到很难，因为，乍然看来，什么数据都没有啊！答案：这道题目可以运用数学里的“虚拟法”来求得证明。

我们把这位信徒上山的那条运动轨迹想象为另一个人所走的路线。这样一来，一个人上山，另一个人下山，又只有一条路，因此他们必然在同一个时刻，相遇于山路上的某个特点。

这就是我们所要证明的结论。一个看来十分困难的、无从着手的证明题，在丰富的想象力的引导下，就此迎刃而解了。

大数学家维尔斯特拉斯曾经说过：“没有诗人的气质，是不能成为伟大的数学家的。”这句话，看来还真有点道理呢！

迷路的人

9个人在山中迷了路，他们所有的粮食只够吃5天。第二天，这9人又遇到另外一队迷路的人，大家便合在一起，再一算粮食，两队人合吃，只够吃3天。问这第二队迷路的人有多少？答案：第一队遇见第二队人时，第一队人已经吃掉了1天的粮食，所余的只够第一队自己吃4天；但第二队加入后，所余的粮食就只能够吃3天，可知第二队人在3天里所吃的粮食等于第一队9个人一天所吃的粮食，所以第二队一共是3人。

连三角形